Напряженность электростатического поля внутри объема проводника

Напряженность ( ) — векторная физическая величина, являющаяся силовой характеристикой электрического поля.

Известно, что проводник — это такое тело, в котором имеются свободные заряды. Эти заряды действительно свободно могут перемещаться по всему объему проводника. Единственным препятствием для их передвижения служит поверхность проводника, которую они сами покинуть не могут.

Рассмотрим изолированный проводник, которому сообщен электрический заряд. Вокруг такого проводника, конечно, создается электростатическое поле. Докажем, что внутри заряженного проводника электростатическое поле отсутствует, то есть напряженность поля равна нулю.

Как известно, в незаряженном проводнике отрицательный заряд всех электронов точно сбалансирован положительным зарядом всех протонов, и их суммарный заряд равен нулю. Но если проводник заряжен, то баланс зарядов нарушается. В проводнике создается избыток свободных электронов, если он заряжен отрицательно, или избыток протонов (недостаток электронов), если он заряжен положительно. В первом случае, взаимно отталкиваясь, избыточные электроны разойдутся друг от друга на максимально возможные расстояния, вследствие чего они расположатся на поверхности проводника (которую покинуть не могут). Внутри же проводника баланс зарядов восстановится, и там суммарный заряд снова станет равным нулю.

Во втором случае, наоборот, часть электронов с поверхности проводника, вследствие сил притяжения к положительным зарядам, устремится внутрь проводника и сбалансирует избыточные положительные заряды. Суммарный заряд внутри проводника снова станет равным нулю, а избыточный положительный заряд сосредоточится на его поверхности.

Выходит, что заряд любого знака, сообщенный проводнику, располагается на его поверхности. Внутри же проводника, то есть внутри замкнутой поверхности, которой в данном случае служит поверхность самого проводника, заряд ранен нулю (q = 0). Но тогда из теоремы Гаусса следует, что, внутри проводника поля нет.

Эквипотенциальные поверхности — поверхности, во всех точках которых потенциал (энергетическая хар-ка поля) имеет одно и то же значение. Иначе говоря, разность потенциалов между любыми двумя точками этой поверхности равна нулю, и работа по перемещению заряда вдоль этой поверхности равна нулю.

Если поле создается точечным зарядом, то его эквипотенциальные поверхности — концентрические сферы, а линии напряженности радиальные прямые. Вектор Е всегда нормален (нормаль — это перпендикуляр к касательной) к эквипот. поверхностям, а поэтому линии вектора Е (силовые линии) перпендикулярны этим поверхностям.

Тот факт, что силовые линии электрического поля перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям, помогает построению эквипотенциальных поверхностей, если известно расположение силовых линий.

Изображение эквипотенциальных поверхностей проводника.

В статическом случае внутри проводника не существует электрическое поле, так как в противном случае на свободные электроны действовала бы сила и они пришли бы в движение. Иными словами, в статическом случае проводник должен находиться целиком под одним и тем же потенциалом, и поверхность проводника является, таким образом, эквипотенциальной. (Иначе свободные электроны на поверхности пришли бы в движение.) Это полностью согласуется с уже отмеченным выше фактом, что электрическое поле у поверхности проводника перпендикулярно поверхности проводника.

Электростатическая индукция — появление (наведение) электрических зарядов разного знака на противоположных участках поверхности проводника или диэлектрика в электростатическом поле.

Если во внешнее электростатическое поле внести нейтральный проводник, то свободные заряды (электроны, ионы) будут перемещаться: положительные — по полю, отрицательные — против поля (рис. 1, а). На одном конце проводника будет скапливаться избыток положительного заряда, на другом — избыток отрицательного. Эти заряды называются индуцированными. Процесс будет происходить до тех пор, пока напряженность поля внутри проводника не станет равной нулю, а линии напряженности вне проводника — перпендикулярными его поверхности (рис. 1, б). Таким образом, нейтральный проводник, внесенный в электростатическое поле, разрывает часть линий напряженности; они заканчиваются на отрицательных индуцированных зарядах и вновь начинаются на положительных. Индуцированные заряды распределяются на внешней поверхности проводника. Явление перераспределения поверхностных зарядов на проводнике во внешнем электростатическом поле называется электростатической индукцией.

32. Конденсатор. Плоский конденсатор. Емкость плоского конденсатора. Соединение конденсаторов в батарею.

Конденсатор — устройство, способное при малых размерах и небольших относительно окружающих тел потенциалах накапливать заряд (обладать большой емкостью).

По сути это два проводника(обкладки), разделенные слоем диэлектрика.

Все электрическое поле сосредоточено внутри конденсатора. Свободные заряды, возникающие на разных обкладках противополжны по знаку и равны по модулю.

Конденсаторы бывают плоские (две плоские пластины); цилиндрические(два коаксикальных цилиндра); сферические(две концентрические сферы).

Плоский конденсатор состоит из двух параллельных пластин площадью S каждая, расположенных на расстоянии d друг от друга и имеющие заряды +Q и -Q.

Емкость конденсатора — это физическая величина, равная отношению зарядa Q, накопленного в конденсаторе, к разности потенциалов между его обкладками:

Ёмкость плоского конденсатора , где где S — площадь пластины (обкладки) конденсатора; d — расстояние между пластинами; eо — электрическая постоянная; e — диэлектрическая проницаемость диэлектрика.

Включение конденсаторов в электрическую цепь бывает параллельное и последовательное.

При параллельном включении разность потенциалов на обкладках одинакова и равна . Заряды равны …

а заряд батареи конденсаторов

Полная емкость батареи C=Q/ = , т.е. при параллельном соединении конденсаторов она равна сумме емкостей отдельных конденсаторов.

У последовательно соединенных конденсаторов заряды обкладок равны по модулю, а разность потенциалов на зажимах батареи , где для любого из рассматриваемых конденсаторов = Q/Ci. C другой стороны, = Q/C= , откуда

, т.е. при последовательном соединении суммируются величины обратные емкостям. Т.о. при последовательном соединении конденсаторов результирующая емкость всегда меньше наименьшей емкости, используемой в батарее.

При внесении проводника в электрическое поле положительные заряды (ядра) и отрицательные (электроны) разделяются. Это явление получило название электростатической индукции. Появляющиеся заряды в результате этого процесса – индуцированные. Они создают дополнительное электрическое поле.

Направление поля таких зарядов – противоположная сторона относительно внешнего. Заряды, которые накапливаются на концах проводника, способны ослаблять внешнее поле. Их перераспределение идет до тех пор, пока не выполняются условия равновесия зарядов для проводников.

Условия равновесного состояния заряда в проводнике

Чтобы заряд на проводнике был в состоянии равновесия, необходимо:

• напряженность поля внутри равнялась нулю E → = 0 , то есть с неизменным потенциалом внутри поля с эквипотенциальным объемом проводника;
• направление вектора E → на поверхности проводника перпендикулярно относительно самого проводника в любой точке поля, при равновесном состоянии поверхности заряда наличие эквипотенциальной поверхности проводника.

Если имеется проводник, заряженный до заряда q , то его распределение выполнится таким образом, что он будет находиться в равновесии. Произведем выделение замкнутой поверхности в переделах указанного тела. Внутри проводник отсутствует, поэтому поток вектора напряженности через избранную поверхность будет равняться нулю. По теореме Гаусса-Остроградского внутри поверхности зарядов нет, соответственно их сумма равна 0 .

Выбранная поверхность – произвольная, поэтому в равновесном состоянии зарядов просто не может быть внутри. Они все распределяются по поверхности с плотностью σ . В проводнике отсутствуют некомпенсированные заряды, поэтому при удалении вещества из него не произойдет перемен в равновесии зарядов. Они просто не могут находиться на поверхности полости проводника в таком состоянии.

Истечение заряда с острия

При наличии большего расстояния от проводника, чем его размеры, рисунок линий похож на поле точечного заряда. Эквипотенциальные поверхности имеют форму сферы, как и у точечного заряда. Вблизи выступов эквипотенциальные поверхности располагаются гуще, тогда напряженность поля больше. Отсюда следует, что особенно большая плотность заряда наблюдается на выступах. Напряженность поля на острие может быть настолько велика, что возникает ионизация молекул газа, который окружает проводник.

Ионы газа с противоположным знаком заряда (относительно заряда проводника) притягиваются к проводнику, нейтрализуя его заряд. Ионы с одинаковыми знаками отталкиваются от проводника, причем «тянут» за собой нейтральные молекулы газа. Явление получило название электрического ветра.

Уменьшение заряда проводника происходит в процессе нейтрализации, то есть стекание с острия. Это явление называется стечением заряда с острия.

Электрическое смещение поля в однородном изотропном диэлектрике около заряженного проводника равняется:

D = σ с σ , обозначающей поверхность распределения зарядов и зависящей от кривизны поверхности.

Запись формулы напряженности приобретает вид:

E = σ ε ε 0 , где ε 0 — электрическая постоянная, а ε — диэлектрическая проницаемость среды.

На элемент поверхности проводника с площадью d S действует сила d F , которая вычисляется по формуле:

d F = σ 2 d S ε ε 0 = ε ε 0 E 2 d S 2 , где E → является напряженностью поля в диэлектрике, в точке нахождения проводника, а d F → направлена в сторону внешней нормали к поверхности проводника.

Примеры решения задач

Описать поведение линий поля при внесении проводника, не обладающего зарядом в электростатическом поле.

Решение

Если внести нейтральный проводник в электрическое поле, то заряды разделяются на отрицательные и положительные – происходит образование индуцированных зарядов. Их перераспределение начинается с момента выполнения условий о равенстве нулю напряженности внутри проводника и перпендикулярности вектора напряженности поля поверхности проводника.

Нейтральный проводник участвует в разрыве части линий напряженности поля, они заканчиваются на отрицательных индуцированных зарядах, которые возникли на поверхности проводника, и снова начинаются с положительных. Распределение индуцированных зарядов идет по поверхности проводника, как указано на рисунке 1 . При имеющейся полости внутри проводника в равновесном состоянии поле внутри нее равняется нулю.

Положительный точечный заряд создает электростатическое поле. В него вносится шар, являющийся проводником. Какими будут эквипотенциальные поверхности и силовые линии результирующего поля?

Решение

При внесении в поле незаряженного проводящего шара, на нем индуцируются заряды, которые распределяются по поверхности шара так, чтобы внутри него поле равнялось нулю, а линии напряженности перпендикулярны к любой точке шара. На рисунке 2 изображены распределения индуцированных зарядов.

Если силовые линии удалять от заданной системы, то по виду они приближаются к радиальным. Эквипотенциальные поверхности результирующего поля становятся сферами.

Получить формулу напряженности поля в вакууме около поверхности заряженного проводника, если положительный заряд распределен по поверхности проводника с поверхностной плотностью σ .

Решение

Решение данного задания возможно при применении теоремы Гаусса-Остроградского. Необходимо выделить небольшую цилиндрическую поверхность на поверхности проводника таким образом, чтобы ось цилиндра была перпендикулярна поверхности, как показано на рисунке 3 .

Расположение линий напряженности поля относительно поверхности проводника перпендикулярно и параллельно относительно осей цилиндра. Определение потока вектора напряженности через площадку ∆ S , используя теорему Гаусса-Остроградского, равняется:

Для определения находящегося внутри выделенной поверхности заряда следует использовать формулу:

Далее нужно совершить подстановку E ∆ S = q ε 0 в q = σ · ∆ S и выразить напряженность поля:

E ∆ S = σ · ∆ S ε 0 → E = σ ε 0 .

Ответ: E = σ ε 0 . При положительном заряде σ > 0 направление вектора напряженности следует от поверхности.

В проводниках электрический заряд может изменять своё местоположение, двигаться. С движением электрического заряда связано понятие электрического тока. Говорят, что проводник «проводит электрический ток». В условиях электростатики электрический ток и электрический заряд в объёме проводника равны нулю, элементарные электрические заряды неподвижно располагаются на наружной поверхности проводника. Если бы в каком-либо малом объёме проводника конечного объёма оказалась бы совокупность элементарных электрических зарядов одного знака, эти заряды (неустойчивое состояние) под действием сил взаимного отталкивания переместились бы на наружную поверхность проводника и перераспределились бы по его наружной поверхности таким образом, чтобы оказалось реализованным новое устойчивое распределение электрического заряда.

В 1813 г. Пуассон установил, что когда заряженный проводник имеет форму сфероида, сила отталкивания, действующая на небольшое тело с электрическим зарядом того же знака, которое находится у поверхности проводника, будет направлена под прямым углом к поверхности сфероида и пропорциональна «толщине поверхностного слоя электричества в этом месте». Пуассон предположил, что это утверждение справедливо в общем случае произвольной поверхности проводника. Сегодня мы бы сказали, что напряжённость электростатического поля вблизи поверхности проводника перпендикулярна поверхности проводника (силовые линии напряжённости электростатического поля перпендикулярны поверхности проводника в непосредственной близости от неё) и пропорциональна поверхностной плотности электрического заряда на поверхности проводника. Эквивалентное утверждение состоит в том, что вблизи поверхности проводника обращается в нуль касательная составляющая вектора напряжённости электростатического поля. Последнее может служить обоснованием утверждения, что потенциал электростатического поля на поверхности проводника должен быть постоянным: поверхность проводника является одной из семейства эквипотенциальных поверхностей электростатического поля:

,

где S – поверхность проводника, индексом n помечено направление внешней нормали к поверхности проводника. Первое из приведённых соотношений является следствием известного условия «скачка», которому должны удовлетворять нормальные к поверхности раздела сред компоненты вектора напряжённости электростатического поля при переходе через поверхность, когда в «первой области» напряжённость электростатического поля равна нулю. Напряженность электростатического поля внутри проводника действительно обращается в нуль: внутри проводника нет электрических зарядов, потенциал электростатического поля удовлетворяет уравнению Лапласа и принимает постоянное значение на поверхности проводника, по принципу максимума это значение потенциал должен иметь в любой точке внутри объёма проводника, а градиент постоянной величины тождественно обращается в нуль.

Когда несколько проводников находятся рядом друг с другом, распределение поверхностной плотности электрического заряда по их поверхностям можно определить, следуя принципу Пуассона:

В любой точке, находящейся в внутри любого из проводников, результирующая сила действия всех без исключения поверхностных слоёв на сосредоточенный электрический заряд (т.е. суммарная напряженность электростатического поля) должна равняться нулю.

Пуассон впервые строго решил задачу о взаимодействии двух проводящих заряженных сфер разного радиуса, удаленных на произвольное расстояние друг от друга. Случай соприкасающихся сфер тоже был рассмотрен Пуассоном. Решение этих задач было получено Пуассоном в форме определенных интегралов. Пуассон вычислил возможную погрешность метода Кулона в его опытах из-за того, что Кулон не знал, каким образом распределены заряды по проводящим поверхностям взаимодействующих шариков.

Заметим, что как только распределение электрического заряда по поверхности проводника установлено, для расчета потенциала и напряженности электростатического поля можно использовать принцип суперпозиции, применение которого описано выше. Это даёт возможность рассчитывать силовое взаимодействие проводников конечных размеров.

Общая задача электростатики состоит в отыскании потенциала как функции пространственных переменных, эта функция должна удовлетворять уравнению Лапласа вне любого из проводников (в вакууме и изотропной однородной диэлектрической среде) и принимать постоянные значения на поверхности любого из проводников. С использованием потенциала находят вектор напряженности электростатического поля и распределение поверхностных зарядов по поверхностям проводников. Интегрируя распределение поверхностной плотности электрического заряда по площади поверхности каждого проводника, получают величину электрического заряда этого проводника. В реальных условиях возможны три случая: — а) на всех поверхностях проводников заданы значения потенциалов, — б) на всех поверхностях проводников заданы величины электрических зарядов, — в) для части проводников известны величины потенциалов, для другой части – величины зарядов. Современный уровень развития математики и вычислительной физики позволяет решать перечисленные задачи.

|	следующая лекция ==>
|	Распределение электрического заряда по поверхности уединённого проводника.

Дата добавления: 2017-09-01 ; просмотров: 2037 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ