Прочитав статейки про первый и второй законы Кирхгофа, уважаемый читатель может сказать: «Хорошо, MyElectronix, ты рассказал мне, конечно, интересные штуки, но что мне дальше с ними делать? Пока по твоим словам я заключил, что если я соберу ручками схему, то я смогу в каждом ее узле и в каждом контуре намерить вот такие вот зависимости. Это здорово, но я хотел бы рассчитывать схемы, а не просто наблюдать зависимости!»
Господа, все эти замечания абсолютно верные и в ответ на них можно лишь рассказать о расчете электрических схем с помощью законов Кирхгофа. Без лишних слов перейдем сразу к делу!
Начнем с самого простейшего случая. Он изображен на рисунке 1. Допустим, ЭДС источника питания равна Е1=5 В, а сопротивления R1=100 Ом, R2=510 Ом, R3=10 кОм. Требуется рассчитать напряжения на резисторах и ток через каждый резистор.
Господа, замечу сразу, эту задачу можно решить гораздо более простым способом, чем с применением законов Кирхгофа. Однако сейчас наша задача не искать оптимальные способы решения, а на наглядном примере рассмотреть методику применения законов Кирхгофа при расчете схем.
Рисунок 1 – Простая схема
В этой схеме мы можем видеть три контура. Если возник вопрос – а почему три, то рекомендую посмотреть статью про второй закон Кирхгофа . В той статье имеется практически такая же схема с наглядным пояснением методики расчета числа контуров.
Господа, хочу отметить один тонкий момент. Хоть контура и три, независимых из них только два. Третий контур включает в себя все остальные и не может считаться независимым. И вообще всегда при всех расчетах мы должны использовать только независимые контура. Не поддавайтесь искушению записать еще одно уравнение за счет этого общего контура, ничего хорошего не выйдет .
Итак, будем использовать два независимых контура. Для этого зададимся в каждом контуре направлением обхода контура. Как мы уже говорили, это некоторое направление в контуре, которое мы принимаем за положительное. Можно в какой-то степени назвать это аналогом осей координат в математике. Направление обхода каждого контура нарисуем синей стрелкой.
Далее зададимся направлением токов в ветвях: просто проставим его наугад. Не важно, угадаем мы сейчас направление или нет. Если угадали, то в конце расчета мы получим ток со знаком плюс, а если ошиблись – со знаком минус. Итак, обозначим токи в ветвях черными стрелочками с подписями I1, I2, I3.
Мы видим, что в контуре №1 направление токов I1 и I3, а также направление источника питания совпадают с направлением обхода, поэтому будем считать их со знаком плюс. В контуре №2 ток I2 совпадет с направлением обхода, поэтому будет со знаком плюс, а ток I3 направлен в другую сторону, поэтому будет со знаком минус. Запишем второй закон Кирхгофа для контура №1:
А теперь запишем этот же закон для контура №2:
Видим, что в контуре №2 нет источников питания, поэтому в левой части (где у нас согласно второму закону Кирхгофа стоит сумма ЭДС) у нас нолик. Итак, у нас есть два уравнения, а неизвестных-то у нас три (I1, I2, I3). А нам известно, что для нахождения трех неизвестных нужна система с тремя независимыми уравнениями. Где же взять третье недостающее уравнение? А, например, из первого закона Кирхгофа ! Согласно этому закону мы можем записать
Господа, теперь полный порядок, у нас есть три уравнения и три неизвестных и нам остается только решить вот такую вот систему уравнений
Подставим конкретные числа. Все расчеты будем вести в кошерной системе СИ. Рекомендую всегда считать только в ней. Не поддавайтесь искушению подставлять куда-то миллиметры, мили, килоамперы и прочее. Возможно возникновение путаницы.
Решение таких систем рассматривается чуть ли не в начальной школе и, полагаю, не должно вызывать трудностей . Если что, есть куча математических пакетов, которые сделают это за вас, если вам лень самим ручками считай. Поэтому мы опустим процесс решения, а сразу приведем результат
Видим, что все токи получились у нас со знаком плюс. Это значит, что мы верно угадали их направление. Да, то есть токи в схеме текут именно в том направлении, как мы нарисовали стрелочки на рисунке 1. Однако из условия задачи необходимо найти не только токи через резисторы, но и падение напряжения на них. Как это сделать? Например, с помощью уже изученного нами закона Ома . Как мы помним, закон Ома связывает между собой ток, напряжение и сопротивление. Если нам известны любые две из этих величин, мы легко можем найти третью. В данном случае мы знаем сопротивление и ток, который течет через это сопротивление. Поэтому, используя вот эту формулу
находим напряжение на каждом резисторе
Заметим, господа, что напряжения на резисторах R2 и R3 равны между собой. Это и логично, поскольку они соединены между собой параллельно. Однако пока не будем на этом акцентировать большое внимание, рассмотрим это лучше в другой раз.
Итак, господа, мы решили эту простую задачку с помощью двух законов Кирхгофа и закона Ома . Но это был совсем простой пример. Давайте попробуем решить более сложную задачу. Взгляните на рисунок 2.
Рисунок 2 – Схема посложнее
Схема выглядит внушительно, не правда ли? Возможно, вам даже не верится, что эту схему можно легко рассчитать. Однако, господа, уверяю вас, вы обладаете всеми необходимыми знаниями для расчета этой схемы, если уже изучили мои предыдущие статьи. Сейчас вы в этом убедитесь.
Для начала зададимся конкретными цифрами значений сопротивлений резисторов и напряжений источников.
Пусть Е1=15 В, Е2=24 В, R1= 10 Ом, R2 = 51 Ом, R3=100 Ом, R4=1 кОм, R5=10 Ом, R6=18 Ом, R7=10 кОм.
Найти, как и в прошлой задаче, требуется все токи в схеме и напряжения на всех резисторах.
В этой схеме мы можем видеть три независимых контура. Обозначим их римскими цифрами I, II, III. В каждом контуре зададимся направлением обхода. Они показаны синими стрелками.
Дальше как и в прошлый раз наугад расставим направления токов во всех ветвях и подпишем где какой ток. Видно, что всего у нас 6 ветвей и, соответственно, 6 разных токов (I1…I6).
Теперь запишем второй закон Кирхгофа для всех трех независимых контуров.
Второй закон Кирхгофа для контура I:
Второй закон Кирхгофа для контура II:
Второй закон Кирхгофа для контура III:
У нас есть три уравнения, однако неизвестных токов аж 6. Как и в прошлой задаче для получения недостающих уравнений запишем первые законы Кирхгофа для узлов.
Первый закон Кирхгофа для узла А:
Первый закон Кирхгофа для узла В:
Первый закон Кирхгофа для узла С:
Собственно, у нас теперь есть система из 6 уравнений с 6 неизвестными. Остается только решить эту систему
Подставляя числа, заданные в условии, получаем
Опуская решения за пределами статьи, приведем итоговый результат
Господа, мы видим, что почти все токи, кроме I4 получились у нас со знаками "минус". Это значит, что мы не угадали их направление, когда рисовали стрелочки на рисунке 2 . То есть все токи, кроме тока I4 на самом деле текут в противоположные стороны. А ток I4 течет так, как мы нарисовали. Хотя бы с ним мы угадали верно.
Теперь все по тому же закону Ома ровно как в прошлом примере рассчитаем напряжения на резисторах:
Вот и все, господа: схема рассчитана, а задачка решена. Таким образом, вы теперь обладаете весьма мощным инструментом по расчету электрических схем. С помощью двух законов Кирхгофа и закона Ома вы сможете рассчитать весьма непростые схемы, найти величины токов и их направления, а также напряжения на всех нагрузках цепи. Более того, зная токи и напряжения вы легко сможете рассчитать и мощности, которые на этих резисторах выделяются, если воспользуетесь рекомендациями из моей предыдущей статьи .
На этом на сегодня все господа. Огромной вам всем удачи и успешных расчетов!
Вступайте в нашу группу Вконтакте
Вопросы и предложения админу: This email address is being protected from spambots. You need JavaScript enabled to view it.
Пример решения задачи
-первый закон Кирхгофа
— второй закон Кирхгофа
Составляем уравнения по законам Кирхгофа для данной схемы
Пример решения задачи:
Подставляя исходные данные
Сокращаем коэффициенты в уравнениях
Выражаем I1 из первого уравнения и подставляем во второе
Совместно записываем второе и третье уравнение и вычитаем почленно
Подставляем найденные I2=2A в третье уравнение
Подставляем I2 и I3 в первое уравнение
Оба источника работают в режиме генератора, так как ток и ЭДС совпадают по направлению
| Задание | Схема к заданию |
| 1.Составьте в общем виде необходимое количество уравнений по законам Кирхгофа. |  |
МЕТОД КОНТУРНЫХ ТОКОВ
Этот метод позволяет уменьшать количество уравнений в системе.
1. Выбираем производное направление контурного тока;
2. Составляем уравнение по второму закону Кирхгофа для контурных токов. При записи учитываем падение напряжения от собственного контурного тока и контурных токов соседних контуров;
3. Решаем полученную систему уравнений и определяем контурные токи;
4. Рассчитываем действительные токи ветвей по правилу:
если в ветви течёт один контурный ток, то действительный ток равен этому контурному; если течет несколько, то действительный равен алгебраической сумме.
— второй закон Кирхгофа
Пусть при решении получилось
Тогда I1 = I1к=3A и направлен вверх
Пример решения задачи
| Задание | Схема к заданию |
| 1.Составьте в общем виде необходимое количество уравнений по методу контурных токов. |  |
МЕТОД ДВУХ УЗЛОВ
1.Обозначим узлы (А;В)
Под узлом А обозначим узел, к которому направлено больше ЭДС
2.Все токи направляем к узлу А
3. Рассчитываем проводимость каждой ветви по формуле единица разделить на сумму всех сопротивлений ветви.
G1= 
См
G2= 
См
G3= 
См
G4= 
См
4) Определяем напряжение между двумя узлами, в эту формулу Е входит со знаком "плюс" если она направлена к узлу А и со знаком "минус" , если от узла
∙
5) Записываем токи ветвей
6) Меняем направлен отрицательных токов (I3, I4)
Пример решения задачи
G1 
G2 
G3 
UAB= 
I1=(E1-UАВ)∙G1=(120-108)∙ 
= 
= 
=0,8A
I2=( E2-UАВ )∙G2=(128-108)∙ 
=1A
I3=- UАВ∙G3 =(-108)∙ 
| Задание | Схема к заданию |
| 1.Составьте в общем виде решение задачи по методу двух узлов. |  |
МЕТОД ЭКВИВАЛЕНТНОГО ГЕНЕРАТОРА
Этим методом удобно рассчитывать ток в одной ветви, особенно, если сопротивление этой ветви меняется.
Цель называется активной, если она содержит внутри себя источники или усилительные элементы и пассивной, если нет (R, L, C).
Согласно теории об эквивалентном генераторе любой активный двухполюсник можно заменить эквивалентным ЭДС с эквивалентным внутренним сопротивлением.
Схема с активным двухполюсником из нее следует 
Чтобы найти Еэ надо разомкнуть ветвь АВ и найти напряжение на зажимах разомкнутой ветви.
Пример решения задачи методом эквивалентного генератора.
Обходим контур, который замыкается через UAB по второму закону Кирхгофа.
Чтобы найти Rэ надо разомкнуть ветвь АВ, исключить все ЭДС, оставив их внутренне сопротивление и рассчитать входное сопротивление цепи по отношению к зажимам разомкнутой ветви.
Ri2,2=Ri2+R2=1+5=6 Ом
I3= 
A
Пример решения задачи.
I5= 
ОПЕРАЦИОННЫЙ УСИЛИТЕЛЬ
Активные элементы — это источники и усилительные элементы.
Пассивные — резисторы, катушки индуктивности и конденсаторы.
Операционный усилитель — активный резистивный элемент, который выполняет в технике связи основной усилительный эффект. Представляет собой то или иное число транзисторов (до 20) и резисторов. Выполняется в виде интегральных микросхем.
Схемное изображение операционного усилителя:
Операционный усилитель имеет 8 выводов: 2 входных, 1 выходной, 1 заземлённый и 2 для регулировки, 2 источника питания. Напряжение питания 12-15 В.
1) очень высокий коэффициент усиления μ = 10 4 — 10 5 ;
2) очень высокое входное сопротивление Rвх = 10 5 и выше;
3) маленькое выходное сопротивление Rвых = единицы Ом.
Неинвертируемый (положительный) вход операционного усилителя — это такой вход, при подаче на который напряжения одной полярности на выходе получается напряжение той же полярности.
Инвертируемый (отрицательный) вход операционного усилителя — это такой вход, при подаче на который напряжения одной полярности на выходе получается напряжение другой полярности.
Работа операционного усилителя сводится к тому, что напряжение источника питания преобразуется по закону входного напряжения, но напряжение на выходе не может быть больше, чем напряжение источника питания. Поэтому, если операционный усилитель работает без обратной связи, то на его выходе всегда будет сигнал прямоугольной формы, равный напряжению источника питания.
Схема включения операционного усилителя без обратной связи:
Понятие об обратной связи
Обратная связь — это цепи, через которые часть напряжения с выхода четырёхполюсника снова подаётся на вход того же четырехполюсника.
ООС — отрицательная обратная связь — это когда выходное напряжение подаётся на вход со знаком противоположным знаку входного.
ПОС — когда выходное напряжение подаётся на вход с тем же знаком, что и знак входного напряжения.
Операционный усилитель всегда работает с глубокой отрицательной обратной связью. Поэтому его коэффициент передачи уменьшается, но зато улучшаются его другие свойства (стабильность, полоса пропускания).
Схема операционного усилителя с обратной связью:
| Задание | Варианты ответов |
| 1.Является ли операционный усилитель активным элементом? | Да; Нет. |
| 2.Можно ли на выходе операционного усилителя получить напряжение больше чем напряжение питания? | Да; Нет. |
| 3.Является ли очень высокий коэффициент передачи операционного усилителя его достоинством? | Да; Нет. |
МЕТОД НАЛОЖЕНИЯ
Основан на принципе, согласно которому, ток в которой ветви может быть найден, как алгебраическая сумма токов от действия каждой ЕДС в отдельности
1. Поочередно оставляем в схеме по одному источнику
2. Внутренние сопротивления исключаемых источников остаются
3. Получаем расчет схемы для нахождения частичных токов. Эти токи обозначаем со « ′ » и рассчитываем по закону Ома
4. Находим действительные токи ветви, как алгебраическую сумму частичных токов. Действительный ток направлен в сторону большего действительного
Пусть при решении получилось
, 
, 
. Тогда
Рассмотрим на примерах как можно использовать законы Кирхгофа при решении задач.
Задача 1
Дана схема, и известны сопротивления резисторов и ЭДС источников. Требуется найти токи в ветвях, используя законы Кирхгофа.
Используя первый закон Кирхгофа, можно записать n-1 уравнений для цепи. В нашем случае количество узлов n=2, а значит нужно составить только одно уравнение.
Напомним, что по первому закону, сумма токов сходящихся в узле равна нулю. При этом, условно принято считать входящие токи в узел положительными, а выходящими отрицательными. Значит для нашей задачи
Затем используя второй закон (сумма падений напряжения в независимом контуре равна сумме ЭДС в нем) составим уравнения для первого и второго контуров цепи. Направления обхода выбраны произвольными, при этом если направление тока через резистор совпадает с направлением обхода, берем со знаком плюс, и наоборот если не совпадает, то со знаком минус. Аналогично с источниками ЭДС.
На примере первого контура – ток I1 и I3 совпадают с направлением обхода контура (против часовой стрелки), ЭДС E1 также совпадает, поэтому берем их со знаком плюс.
Уравнения для первого и второго контуров по второму закону будут:
Все эти три уравнения образуют систему
Подставив известные значения и решив данную линейную систему уравнений, найдем токи в ветвях (способ решения может быть любым).
Проверку правильности решения можно осуществить разными способами, но самым надежным является проверка балансом мощностей.
Задача 2
Зная сопротивления резисторов и ЭДС трех источников найти ЭДС четвертого и токи в ветвях.
Как и в предыдущей задаче начнем решение с составления уравнений на основании первого закона Кирхгофа. Количество уравнений n-1= 2
Затем составляем уравнения по второму закону для трех контуров. Учитываем направления обхода, как и в предыдущей задаче.
На основании этих уравнений составляем систему с 5-ью неизвестными
Решив эту систему любым удобным способом, найдем неизвестные величины
Для этой задачи выполним проверку с помощью баланса мощностей, при этом сумма мощностей, отданная источниками, должна равняться сумме мощностей полученных приемниками.
Баланс мощностей сошелся, а значит токи и ЭДС найдены верно.
