Магнитное поле в круговом витке

Французские ученые Ж. Био и Ф. Савар изучали магнитные поля, создаваемые постоянными токами разной формы. Результаты их работы обобщил известный математик и физик П. Лаплас.

Применение закона Био – Савара – Лапласа к вычислению магнитного поля кругового тока

Закон Био-Савара–Лапласа описывает порождение магнитного поля током $I$ на элементе проводника длиной $dl$ в некоторой точке пространства ($mu$ — магнитная проницаемость вещества в котором локализовано поле):

где $d vec l ⃗$ — вектор, длина которого равна длине элемента проводника $dl$, направленный по току; $vec r$ – радиус-вектор, который проведен от элемента $dl$ в точку, в которой исследуется магнитное поле. Поскольку в правой части формулы (1) находится векторное произведение, очевидно, что индукция элементарного магнитного поля будет направлена перпендикулярно плоскости, в которой находятся векторы $vec r$ и $vec l$ и при этом является касательной к силовой линии поля.

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Величину вектора $vec$ из выражения (1) найдем как:

где $ alpha $– угол между векторами $vec r$ и $vec l$ .

Конкретное направление $vec$ находят по правилу буравчика (правилу правой руки):

Если правый винт вращать так, что его поступательное движение будет совпадать с направлением течения тока в избранном элементе, то вращение его головки укажет направление $vec$.

Магнитные поля подчиняются принципу суперпозиции:

Суммарную магнитную индукцию поля, создаваемого несколькими источниками, находят как геометрическую сумму векторов магнитной индукции отдельных полей:

$vec=sumlimits_^N vec_ left( 3
ight). $

Если распределение токов можно считать непрерывным, то принцип суперпозиции можно записать:

Вычисление магнитной индукции поля с применением закона Био-Савара-Лапласа довольно сложная процедура. Но при существовании определенной симметрии в распределении токов, используя, рассмотренный нами закон и принцип суперпозиции, рассчитать конкретные поля просто. В любом случае следует придерживаться следующей схемы действий:

Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!

1. Выделить на проводнике с током элементарный отрезок $dl$.
2. Записать для исследуемой точки поля закон Био – Савара – Лапласа.
3. Определить направление элементарного поля $vec$ в избранной точке.
4. Воспользоваться принципом суперпозиции для магнитных полей (учесть, что суммируются векторы).

Магнитное поле кругового тока в его центре

Рисунок 1. Магнитное поле кругового тока в его центре. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рассмотрим круговой проводник, по которому течет постоянный ток $I$ (рис.1). Выделим на этом проводнике элемент $dl$, который можно считать прямолинейным. Если перейти к другому элементу этого же тока, затем к третьему и так далее, применить правило правого винта, то очевидно, что все магнитные поля, созданные этими элементами в центре, направлены вдоль одной прямой, перпендикуляру к плоскости кольца. Это означает, применяя принцип суперпозиции, мы векторное сложение заменим алгебраическим.

Запишем закон Био-Савара-Лапласа для модуля вектора индукции поля, создаваемого элементом d$l_1$:

Из рис.1 мы видим:

1. что расстояние от элементарного тока до центра витка равно его радиусу ($R$) и будет одинаковым для всех элементов на этом витке,
2. элемент $dl$ (как и все остальные элементы) будут нормальны к радиус-вектору $vec r$.

Учитывая сказанное выражение (5) представим в виде:

Обезличивая витки с током, положим далее $dl_1=dl$.

Поскольку наш ток является непрерывным, то для нахождения полного поля в его центре, мы проинтегрируем (6), имеем:

$L=2πR$ — длина окружности витка.

Индукция магнитного поля кругового тока на его оси

Найдем индукцию магнитного поля на оси кругового тока, если ток, текущий по нему равен $I$, радиус витка — $R$ (рис.2).

Рисунок 2. Индукция магнитного поля кругового тока на его оси. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Как основу для выполнения поставленной задачи возьмем закон Био-Савара-Лапласа (1), где из рис.2 мы видим, что:

$dvec imes vec=dvec imes vec+dvec imes vec(9).$

Используя принцип суперпозиции закон (1) для нашего тока и формулы (8-9) запишем:

В выражении (10) при записи интеграла, мы учли, что величина вектора $vec$ не изменяется. Кроме этого вектор $vec h$, определяющий положение точки, в которой мы ищем поле, не изменяется при движении по нашему контуру, поэтому:

$ointlimits_L imes vec> =(ointlimits_L ) imesvec> =0, left( 11
ight),$

так как ( $ointlimits_L )=0.>$

Вычислим интеграл: $ointlimits_L imes vec.>$ Введем единичный вектор ($vec n$), нормальный к плоскости витка с током.

$ointlimits_L imes vec=ointlimits_L <vecRdl=vecR>> ointlimits_L R> 2pi R=2pi R^<2>vecleft( 12
ight)$.

Подставляем результаты интегрирования из (12) в (10), имеем:

где при записи окончательного результата мы учли, что:

Кольца Гельмгольца

Кольцами Гельмгольца считают пару проводников в виде колец одного радиуса, расположенных в параллельных плоскостях (рис.3) на одной оси. Расстояние между плоскостями колец равно их радиусу.

Рисунок 3. Кольца Гельмгольца. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рассмотрим магнитное поле на оси этих колец.

Декартову систему координат разместим так, что ее начало совпадает с центром нижнего кольца с током. Ось Z нашей системы будет направлена по оси колец (рис.3).

Запишем индукцию магнитного поля в точке с координатой $z$ на оси колец. Используем формулу (13):

Исследуем полученное поле. Считается, что магнитное поле на оси колец Гельмгольца на посередине между ними является однородным.

Неоднородность в первом приближении характеризуют первой производной:

Если $z=frac<2>quad$ , подставим в (15), имеем:

По условию для колец Гельмгольца, имеем: $d=R.$

На середине их общей оси ($z=frac<2>)$, получаем:

Равенство нулю второй производной от $B_z$ по координате $z$, показывает, что в на середине оси колец магнитное поле является однородным с высокой степенью точности.

Так и не нашли ответ
на свой вопрос?

Просто напиши с чем тебе
нужна помощь

Читайте также:

1. В цветоведении принято рассматривать свет как электромагнитное
2. Взаимодействие проводников с током. Закон Ампера.
3. Взаимодействия. Концепция поля, гравитационное и электромагнитное поля. Волновая теория света
4. Виды поражений электрическим током.
5. Гиромагнитное соотношение
6. Закон Био и Савара. Принцип суперпозиции. Магнитное поле прямого и кругового токов
7. Защита человека от поражения электрическим током.
8. Исход поражения человека электрическим током.
9. Кругового конуса
10. ЛЕКЦИИ 10-11. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ
11. ЛЕКЦИИ 8-9. ПОСТОЯННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ
12. Магнитное взаимодействие проводников с токами. Контур с током в магнитном поле

Согласно закону Био-Савара-Лапласа, индукция магнитного поля, создаваемого элементом тока dl на расстоянии r от него есть

,

где α – угол между элементом тока и радиус-вектором , проведенным из этого элемента в точку наблюдения; r — расстояние от элемента тока до точки наблюдения.

В нашем случае α = π/2, sinα = 1; , где а – расстояние, отсчитываемое от центра витка до рассматриваемой точки на оси витка. Векторы образуют в этой точке конус с углом раствора при вершине 2= π — 2β, где β – угол между отрезками а и r.

Из соображений симметрии ясно, что результирующее магнитное поле на оси витка будет направлено вдоль этой оси, то есть вклад в него дают только те составляющие, которые параллельны оси витка:

.

Результирующую величину индукции магнитного поля B на оси витка получим, проинтегрировав это выражение по длине контура от 0 до 2πR:

или, подставив значение r:

.

В частности, при а = 0 находим индукцию магнитного поля в центре кругового витка с током:

Этой формуле можно придать другой вид, воспользовавшись определением магнитного момента витка с током:

.

Последнюю формулу можно записать в векторном виде (см. рис.9.1):

.

Дата добавления: 2014-01-07 ; Просмотров: 2639 ; Нарушение авторских прав? ;

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

В 1820 году датский ученый Ганс Христиан Эрстед свершил выдающееся открытие – магнитное действие электрического тока. Эстафету исследований и открытий в области электромагнетизма подхватили французские ученые: Араго, Био, Савар, и, конечно же, Андре Мари Ампер.

Направление силовых линий магнитного поля

Эрстед обнаружил, что если проводник установить вертикально и вокруг него расположить небольшие магнитные стрелки на подставках, то при прохождении тока в проводнике, стрелки повернутся так, что полюс одной из них будет направлен на противоположный полюс другой. Если стрелки мысленно соединить линией, проходящей через полюсы, то линия окажется замкнутой окружностью. Это наблюдение позволяет делать вывод о вихревом характере магнитного поля вокруг проводника с током (рис. 1).

Рис. 1. Магнитное поле вокруг проводника с током

Теперь посмотрим, что будет, если изменить направление тока. Стрелки по-прежнему образуют круг, но развернулись на 180 градусов. Значит, можно говорить о направлении вихрей, которые образуют магнитные линии.

Исследуя этот феномен, Ампер предложил считать за направление силовых линий направление от северного полюса магнита к южному полюсу. Это предложение позволяет связать между собой направление магнитных линий вокруг проводника с током и направление тока в проводнике.

Соединим нижний конец проводника с положительным полюсом источника (+), а верхний – с отрицательным (–). Таким образом, мы знаем направление тока в проводнике. Замкнем цепь. Обратим внимание, как расположились стрелки. Теперь, если обхватить проводник пальцами правой руки по линии, соединяющей северный полюс одной стрелки с южным полюсом другой стрелки, то отставленный вдоль проводника большой палец будет как раз указывать направление тока – от плюса к минусу.

Наверное, приблизительно так рассуждая, Андре-Мари Ампер предложил правило «правой руки» (рис. 2).

Если обхватить проводник правой рукой, направив отогнутый большой палец по направлению тока, то направление обхвата проводника покажет направление линий магнитного поля.

Рис. 2. Правило правой руки

Еще один способ определения взаимосвязи направления тока и направления линий магнитного поля называется правилом буравчика (рис. 3).

Если ввинчивать буравчик по направлению тока в проводнике, то направление движения рукоятки буравчика укажет направление линий магнитного поля.

Рис. 3. Правило буравчика

Взаимодействие токов. Закон Ампера

Одним из следующих серьезных шагов Ампера было открытие взаимодействия двух параллельных проводников.

Ампер выяснил, что два параллельных проводника с током притягиваются, если токи в них направлены в одном направлении, и отталкиваются, если тоги направлены в разных направлениях (рис. 4).

Рис. 4. Взаимодействие параллельных проводников

Таким образом, гениальная догадка Ампера о том, что магнитные взаимодействия есть взаимодействия электрических токов, высказанная Ампером в первый же день знакомства с опытами Эрстеда, подтвердилась экспериментально.

Это открытие позволило Амперу изучить силу взаимодействия токов и вывести известный закон (закон Ампера). В наиболее простом случае он имеет вид:

,

Сила взаимодействия двух параллельных проводников с токами пропорциональна величинам токов в элементарных отрезках и обратно пропорциональна расстоянию между элементами проводников.

Закон Ампера в простом его виде для прямых однородных проводников позволяет установить единицу силы тока на основе прямых измерений. Действительно, измеряя силы взаимодействия проводников и зная расстояние между ними, мы можем точно определить величину тока в проводниках и таким образом установить ток в один ампер.

Ампер есть сила неизменяющегося тока, который при прохождении по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малой площади кругового поперечного сечения, расположенным в вакууме на расстоянии 1 метр один от другого, вызвал бы на каждом участке проводника длиной 1 метр силу взаимодействия, равную 2·10 −7 ньютона.

В формуле коэффициент k – коэффициент пропорциональности, численное значение которого зависит от выбора системы единиц. В СИ этот коэффициент имеет следующее выражение: (здесь «мю нулевое» – это магнитная постоянная).

Магнитное поле кругового тока (виток с током)

Затем Ампер исследовал, как будет вести себя проводник, скрученный в кольцо – виток. Оказалось, что виток с током ведет себя подобно магнитной стрелке (рис. 5).

Рис. 5. Виток с током

Это значит, что на виток с током в магнитном поле, скажем, между двумя полюсами магнита, будет действовать момент сил, стремящийся развернуть виток с током так, чтобы его плоскость была перпендикулярна магнитным линиям. Опыт показывает, что угол разворота рамки с током зависит от величины тока в рамке и от самих магнитов, или силы магнитного поля. Следовательно, такой виток с током, или как говорят, круговой ток, можно использовать для анализа силовых свойств магнитного поля (рис. 6).

Рис. 6. Рамка с током в магнитном поле

Вектор магнитной индукции

Разместим виток с током в пространстве между полюсами магнитов. Крутящий момент , действующий на виток с током, будет прямо пропорционален площади витка и величине тока, проходящего по витку, что следует из опытов. Получается, что отношение момента сил, действующих на виток, к произведению площади витка на величину тока остается величиной постоянной для данной пары магнитов.

Следовательно, величина, равная этому отношению, характеризует не виток с током, а силовые свойства той области пространства, где действует магнитное поле на виток с током.

Эта величина называется магнитной индукцией. Очевидно, это векторная величина. Вектор магнитной индукции является касательной к каждой точке магнитных линий (рис. 7).

Рис. 7. Вектор магнитной индукции

Размерность этой величины: – Ньютон делить на ампер, умноженный на метр. Её название – Тесла.

Вектор магнитной индукции – это силовая характеристика магнитного поля. Направление вектора магнитной индукции совпадает с направлением северного полюса свободной магнитной стрелки в данной точке пространства. Виток с током ведет себя в магнитном поле подобно стрелке, следовательно, у самого витка с током есть свое магнитное поле. Направление вектора магнитной индукции вдоль оси витка можно определить по правилу правой руки.

Если четырьмя пальцами правой руки обхватить виток так, чтобы пальцы указывали направление тока в витке, то отставленный на 90 градусов большой палец укажет направление вектора магнитной индукции.

Величина вектора магнитной индукции в центре витка с током будет определяться исключительно величиной тока и размерами самого витка

.

В заключение рассмотрим систему из нескольких витков – катушку, или, как еще ее называют, соленоид (рис. 8).

Примечательно то, что внутри соленоида магнитные линии будут параллельными и прямыми линиями. Значит, магнитные линии будут совпадать с вектором магнитной индукции. При этом значение модуля вектора магнитной индукции внутри соленоида будет одинаковым. Такое поле, как мы помним из электростатики, называется однородным. Таким образом, внутри катушки с током, или, как говорят, соленоида, магнитное поле однородно.

Модуль вектора магнитной индукции будет зависеть не только от величины тока, но и от числа витков и длины соленоида .