Логические основы цифровой техники

9.1. Основные законы и следствия Булевой алгебры

Для описания логических операций используется математический аппарат, получивший название алгебры логики, или Булевой алгебры.

В алгебре логики рассматриваются переменные, которые могут принимать только два значения: 1 и 0.

Основные логические функции:

Логическое отрицание НЕ (инверсия). Обозначается в виде черточки над аргументом: . В качестве примера цепи, реализующей функцию НЕ, можно привести размыкающий контакт реле. При срабатывании реле цепь, в которую входит такой контакт, будет размыкаться.

Логическое умножение И (конъюнкция). Символически обозначается: или

В качестве примера электрической цепи, реализующей функцию И, можно привести соединение последовательно замыкающих контактов нескольких реле. Цепь в этом случае будет замкнута тогда и только тогда, когда сработают все реле.

Логическое сложение ИЛИ (дизъюнкция). Операция обозначается выражениями: либо

В качестве примера электрической цепи, реализующей функцию ИЛИ, можно привести параллельное соединение замыкающих контактов нескольких реле. Цепь, в которую входят эти контакты, будет замкнута, если сработает хотя бы один контакт.

Основные законы алгебры логики:

, ;

, ;

, ;

, ;

, ;

закон отрицания или правило де Моргана:

, .

Правило де Моргана справедливо для любого числа переменных:

Для алгебра логики справедливы следующие соотношения:

;

;

;

;

;

.

9.2. Минимизация логических функций с помощью алгебраических преобразований

Минимизация логических функций применяется при синтезе комбинационных логических цепей (КЛЦ). КЛЦ — это такие цепи, выходные сигналы которых не зависят от предыстории и однозначно определяются сигналами, поступающими на их входы в рассматриваемый момент времени.

Синтез КЛЦ проводят в следующей последовательности:

Составляется таблица истинности. Эта таблица показывает, чему равен выходной сигнал цепи при различных комбинациях входных сигналов.

Исходя из таблицы истинности, записывается логическая функция.

Логическая функция минимизируется и преобразуется к удобному виду для реализации на логических ячейках заданного типа.

Рассмотрим работу мажоритарной ячейки на 3 входа. Строим таблицу истинности:

Построим схему по полученному выражению:

Рис. 6. Реализация мажоритарной ячейки на 3 входа по минимизированному выражению

Основные параметры цифровых схем

Основными параметрами цифровых интегральных схем является быстродействие, потребляемая мощность, коэффициент объединения по входу, коэффициент разветвления по выходу, устойчивость против внешних воздействий, помехоустойчивость, степень интеграции, надежность, пороговое напряжение.

Элемент И-НЕ в ДТЛ

Цифровые схемы могут быть построены по-разному, но в их основе, как правило, лежат схемы, выполняющие функции И-НЕ либо ИЛИ-НЕ. Поэтому интегральные схемы содержат обычно схемы И либо ИЛИ, выполненные на резисторах, диодах или транзисторах, и транзисторные инверторы. Транзисторный инвертор может быть простейшим — на одном транзисторе, включённом по схеме с общим эмиттером, или сложным — многотранзисторным с каскадным включением транзисторов в выходном каскаде.

Разберём работу схемы И-НЕ с ДТЛ, работающую от положительных сигналов (рисунок 7). Схема состоит из двух частей. В первой входные переменные подаются на диодный элемент И. Вторая часть выполнена на транзисторе и представляет собой инвертор. Таким образом в схеме последовательно выполняется логическая операция И-НЕ. Диоды VD3, VD4 называются смещающими диодами и предназначены для надёжного закрывания транзистора.

ДТЛ-элементы обладают большим быстродействием, большим коэффициентом объединения по входу, высокой помехозащищённостью и широко используются в системах цифровой техники. Отсутствие конденсаторов и высокоомных резисторов делает их удобными для микроэлектронного исполнения. Однако, ТТЛ-элементы получили в настоящее время большее распространение. В первую очередь это связано с тем, серьёзным недостатком ДТЛ является большое количество диодов, каждый из которых необходимо тщательно изолировать, что увеличивает площадь микросхемы.

Понятие о логической функции и логическом устройстве. Минимизация функций с использованием карт Карно. Физическое представление значений логических элементов. Преобразователь кода для цифровой индикации. Мультиплексоры, демультиплексоры и шифраторы.

Рубрика	Коммуникации, связь, цифровые приборы и радиоэлектроника
Вид	реферат
Язык	русский
Дата добавления	28.10.2013
Размер файла	88,9 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Логические основы цифровой техники

Для обозначения различной информации — предметов, понятий, действий — мы пользуемся словами. Запись слов производится с помощью букв из некоторого их набора, называемого алфавитом.

В цифровой технике для тех же целей пользуются кодовыми словами. Особенность этих слов заключается в том, что все они имеют чаще всего одинаковую длину (т.е. состоят из одного и того же количества букв) и для их построения используется простейший алфавит из двух букв. Эти буквы принято обозначать символами 0 и 1. Таким образом, кодовое слово в цифровой технике есть определенной длины последовательность символов 0 и 1, например 10111011. Такими кодовыми словами могут представляться и числа, в этом случае 0 и 1 совпадают по смыслу с обычными арабскими цифрами. При представлении кодовым словом — некоторой нечисловой информации, чтобы отличать символы 0 и 1 от арабских цифр, будем эти символы называть логическим нулем и логической единицей и обозначать далее лог 0 и лог I.

Если длина кодовых слов составляет п разрядов, то можно построить 2 n различных комбинаций — кодовых слов. Например, при п = 3 можно построить 2 3 =8 слов: 000, 001,010, 011, 100,101,110,111

Информация, которая передается между отдельными узлами (блоками) сложного цифрового устройства, представляется в виде кодовых слов. Таким образом, на входы каждого узла поступают кодовые слова, на выходе узла образуется новое кодовое слово, представляющее собой результат обработки входных слов. Выходное слово зависит от того, какие слова поступают на входы узла Поэтому можно говорить, что выходное слово есть функция, для которой аргументами являются входные слова. Для того чтобы подчеркнуть особенность таких функций, состоящую в том, что функция и ее аргументы могут принимать значения лог 0 и лог /, будем эти функции называть функциями алгебры логики (ФАЛ).

Устройства, предназначенные для формирования функций алгебры логики, называются логическими устройствами или цифровыми устройствами.Цифровые устройства (либо их узлы) можно делить на типы по различным признакам.

По способу ввода и вывода кодовых слов различают логические устройства последовательного, параллельного и смешанного действия.

На входы устройства последовательного действия символы кодовых слов поступают не одновременно, а последовательно во времени, символ за символом (в так называемой последовательной форме). В такой же последовательной форме выдается выходное слово. Пример такого устройства показан на рис. 3.1 ,а. Как нетрудно сообразить, устройство на рисунке выявляет несовпадение символов на входах, выдавая лог 1 при несовпадении илог 0 при совпадении символов (действительно, при несовпадении входных символов, когда Вх₁ = 1 и Вх₂ = 0 или Вх₁ = 0 и Вх₂

== 1, на выходе устройства Вых = 1, при совпадении входных символов, когда Вх₁=1 и Вх₂=1 или Вх₁=0 и Вх₂=0, на выходе Вых = 0).

На входы устройства параллельного действия все п символов каждого входного кодового слова подаются одновременно (в так называемой параллельной форме) В такой же форме образуется на выходе выходное слово. Очевидно, при параллельной форме приема и выдачи кодовых слов в устройстве необходимо иметь для каждого разряда входного (выходного) слова отдельный вход (выход). Пример такого устройства показан на рис. 3.1,б. Устройство выполняет над разрядами входных слов ту же логическую операцию (выявляя несовпадение символов соответствующих разрядов входных слов), что и устройство, показанное на рис. 3.1 ,а, но в параллельной форме. Входы устройства разделены на две группы (I и II), каждая из которых предназначена для приема трехразрядного входного кодового слова в параллельной форме. На выходах устройства также в параллельной форме получается трехразрядное выходное слово.

В устройствах смешанного действия входные и выходные кодовые слова представляются в разных формах- Например, входные слова — в последовательной форме, выходные — в параллельной. Устройства смешанного действия могут использоваться для преобразования кодовых слов из одной формы представления в другую (из последовательной формы в параллельную или наоборот).

По способу функционирования логические устройства (и их схемы) делят на два класса: комбинационные устройства (и соответственно комбинационные схемы) и последовательностные устройства (последовательностные схемы).

В комбинационном устройстве (называемом также автоматом без памяти) каждый символ на выходе (лог. О или лог. 1) определяется лишь символами (лог.О или лог.1), действующими в данный момент времени на входах устройства, и не зависит от того, какие символы ранее действовали на этих входах. В этом смысле комбинационные устройства лишены памяти (они не хранят сведений о прошлом работы устройства).

В последовательностных устройствах (или автоматах с памятью) выходной сигнал определяется не только набором символов, действующих на входах в данный момент времени, но и внутренним состоянием устройства, а последнее зависит от того, какие наборы символов действовали на входах во все предшествующие моменты времени в процессе работы устройства. Поэтому можно говорить, что последовательностные устройства обладают памятью (они хранят сведения о прошлом работы устройства).

Рассмотрим примеры комбинационного и последовательностного устройства. Пусть устройство (рис. 3.2,а) предназначено для формирования на выходе сигнала, определяющего совпадение сигналов на входах: на выходе формируется лог. 1 в случаях, когда на обоих входах действует либо лог. 1, либо лог.О; если на одном из входов действует лог. 1, а на другом —лог.О, то на выходе устройства образуется лог. 0.

Такое устройство является комбинационным, в котором значение формируемой на выходе логической функции определяется лишь значениями ее аргументов в данный момент времени. Рассмотрим другой пример. Счетчик на рис. 3.2,6 подсчитывает импульсы. В каждый момент времени его состояние соответствует числу поступивших на вход импульсов. Выходная информация определяется тем, каково было состояние счетчика до данного интервала времени и поступает или нет на вход импульс в данном интервале времени. Таким образом, данное устройство является последовательностным устройством.

логический цифровой шифратор

В классической математике для задания функции обычно используются два способа: аналитический (запись формулой) и табличный (таблицами значений функции, какие приводятся, например, в справочниках). Подобными же способами могут задаваться логические функции.

При табличном способе строится так называемая таблица истинности, в которой приводятся все возможные сочетания значений аргументов и соответствующие им значения логической функции. Так как число таких сочетаний конечно, таблица истинности позволяет определять значение функции для любых значений аргументов (в отличие от таблиц математических функций, которые позволяют задавать значения функции не для всех, а лишь для некоторых значений аргументов).

Таблица истинности для логических функций одного аргумента приведена в табл.1. Существуют всего четыре функции одного аргумента.

Содержание лекции:введение основных понятий и определений цифровой техники, арифметика и кодирование двоичных чисел, основы алгебры логики.

Цели лекции:ознакомиться с основными понятиями и определениями цифровой техники, освоить правила перевода чисел из одной системы счисления в другую и двоичной арифметики, способы кодирования двоичных чисел, а также изучить аксиомы, основные законы и правила алгебры логики.

Информация, воплощенная в некоторой материальной форме, называется сообщением или сигналом. Сигналы могут носить аналоговый (непрерывный), либо дискретный (цифровой) характер, когда изменяемая величина (функция) может иметь место только при конкретных значениях времени. Цифровые сигналы состоят только из последовательности двух цифр 1 и 0, которые называют логическими, поскольку существует раздел математики, называемый алгеброй логики, задающей правила работы с такими двоичными сигналами. Методы обработки цифровых сигналов и соответствующие устройства и системы называются цифровыми или логическими. Существуют две формы представления цифровых сигналов: потенциальная и импульсная. В первом случае наибольшей физической величине, например, напряжению соответствует логическая 1, наименьшему – логический 0 (положительная логика), если все наоборот, то имеет место отрицательная логика. Во втором случае появление импульса в определенный момент времени соответствует логической 1, его отсутствие – логическому 0. Наибольшее распространение получили цифровые устройства, реализованные в виде цифровых микросхем, использующих потенциальную форму представления цифровых сигналов, в частности, положительную логику.

Цифровая техника использует двоичную систему счисления, так как обрабатывает числа, представленные только в двоичной форме. Однако, для сокращенной формы записи двоичных чисел в микропроцессорной технике применяют восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

Система счисления – это способ записи чисел цифровыми символами. Системы счисления делят на непозиционные и позиционные. В непозиционной системе счисления значение символа не зависит от его положения в числе, а в позиционных – зависит.

Любое число в любой системе счисления можно записать в виде следующего полинома

,

где q – основание системы счисления; — коэффициенты при степенях основания ( ); — веса разрядов числа.

В двоичной системе счисления q = 2 и используются два коэффициента (1 и 0). Двоичное число 101101,101 можно представить в виде следующего полинома: .

Двоичная арифметика очень проста. Основной арифметической операцией, которая используется в цифровых устройствах, является сложение, так как вычитание легко свести к сложению путем изменения на обратный знак вычитаемого, а умножение и деление — к операциям сложения и некоторых логических действий. Для арифметического сложения или вычитания двоичных чисел необходимо помнить, что две логические 1 не могут находиться в одном разряде, то есть они переходят в соседний старший разряд в качестве одной логической 1.

В восьмеричной системе счисления счисления q = 8 и используются восемь коэффициентов (0,1,2,3,4,5,6,7). Восьмеричное число можно представить в виде следующего полинома .

В шестнадцатеричной системе счисления q = 16 и используются шестнадцать коэффициентов (цифры от 0 до 9 и буквы начала латинского алфавита A,B,C,D,E,F). Шестнадцатеричное число можно представить полиномом .

Перевод дробного числа из десятичной в другую систему счисления осуществляется в два этапа:

1) переводится целая часть числа делением ее на основание системы счисления до остатка, меньшего этого основания, при этом полученное число записывается справа налево;

2) переводится дробная часть числа умножением ее на основание системы счисления до получения либо нулевого остатка после запятой, либо до заданной степени точности, при этом полученное число записывается слева от запятой сверху вниз. На рисунке 1 приведен пример перевода десятичного числа 45,75 в двоичное.

1) 45 2 2) 0,75

1 22 2 2

0112

1 5 2 1,50

1 2 2 2

0 1 1,00

Рисунок 1 – Пример перевода десятичного числа в двоичное

Для обратного перевода достаточно сложить веса единичных разрядов двоичного числа: .

В таблице 1 представлен натуральный ряд десятичных чисел в порядке возрастания, которым соответствует свой двоичный эквивалент.

Т а б л и ц а 1

0

Продолжение таблицы 1

9	∙∙∙
∙∙∙

Недостатки данного способа кодирования десятичных чисел:

а) для увеличения диапазона однозначности десятичных чисел нужно увеличивать разрядность устройств;

б) технически трудно реализовать переход от натурального кода к десятичной системе.

Этих недостатков лишена двоично-десятичная система кодирования, которая присваивает каждой десятичной цифре от 0 до 9 свой двоичный эквивалент в виде тетрады, то есть четырехразрядного двоичного числа. При таком способе кодирования, например, десятичное число 37 можно представить, согласно таблице 1, как 0011 0111. Таким образом, при двоично-десятичном кодировании сохраняется десятичная система счисления при двоичном форме представления десятичных чисел.

Математической базой для анализа и синтеза работы цифровых устройств служит алгебра логики, в основе которой лежат три логические функции: логическое сложение (дизъюнкция), логическое умножение (конъюнкция) и логическое отрицание (инверсия). На рисунке 2 представлены логические элементы ИЛИ,И,НЕ соответственно реализующие эти функции.

х

Y

∙ ∙

Рисунок 2 – Логические элементы основного базиса

При логическом сложении входных двоичных переменных выход всегда будет равен логической 1, если хотя бы на один вход логического элемента ИЛИ поступает логическая 1. На выходе будет логический 0, если на все входы поступают логические 0. При логическом умножении входных двоичных переменных выход всегда будет равен логическому 0, если хотя бы на один вход логического элемента И поступает логический 0. На выходе будет логическая 1, если на все входы поступают логические 1. При логическом отрицании выход логического элемента НЕ всегда инвертирует двоичное значение его входа. На практике большим применением пользуются комбинированные логические элементы ИЛИ-НЕ, И-НЕ, которые выполняют две логические функции: логическое сложение с отрицанием результата и логическое умножение с отрицанием результата соответственно. Логичесие элементы И,ИЛИ,НЕ составляют основной базис при построении логических устройств, а комбинированные логические элементы — универсальный базис.

Логическую функцию можно задать структурной формулой, то есть равенством, в левой части которого записана буква, обозначаюшая логическую функцию, а в правой – логическое выражение

Существуют две формы записи логических выражений: совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) и совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ).

СДНФ – это логическая сумма минтермов, на которых логическая функция равна единице. Минтерм – это логическое произведение входных переменных, преставленных с отрицанием или без него.

СКНФ – это логическое произведение макстермов, на которых логическая функция равна нулю. Макстерм – это логическая сумма входных преременных, представленных с отрицанием или без него.

При проектировании цифровых устройств часто требуется преобразовать структурные формулы. Для этого используют соотношения, вытекающие из аксиом и законов алгебры логики.

Рассмотрим аксиомы, справедливость которых можно подтвердить, используя правила логического сложения, умножения и инверсии.

Пусть — некоторая логическая переменная, тогда

Для логических операций сложения и умножения справедливы переместительный и сочетательный законы. У распределительного закона только первая его часть ( правило раскрытия скобок) соответствует обычной алгебре, а вторая часть ( правило взятия в скобки) имеет место только в алгебре логики.

Рассмотрим некоторые правила алгебры логики, имеющие наибольшее практическое использование для преобразования структурных формул. Правило де Моргана и Это правило позволяет заменить логическое умножение сложением и наоборот. Правило склеивания и На правиле склеивания основаны графические методы карт Карно или диаграмм Вейча для минимизации логических функций.

Дата добавления: 2015-12-01 ; просмотров: 1354 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ