Линии напряженности электростатического поля около поверхности проводника

Поле вблизи поверхности проводника создается всеми поверхностными зарядами этого проводника и всеми зарядами, расположенными вне проводника. Выделим элемент поверхности проводника площадью в окрестности точки . Этот элемент возьмем столь малым, чтобы пренебречь его отличием от плоского и неравномерностью распределения заряда на элементе. Обозначим — значение поверхностной плотности заряда на элементе (см. рис. 2.10). Выделим объем, ограниченный цилиндром высоты и площадью основания , столь малой величины , чтобы можно было пренебречь неоднородностью поля над проводником в объеме .

Рис. 2.10. К расчету напряженности поля вблизи поверхности проводника

Применение теоремы Гаусса к выделенному объему дает

(2.19)

Стягиваем объем к точке на поверхности проводника с поверхностной плотностью заряда . В пределе получаем формулу, связывающую напряженность поля в точке на поверхности проводника со значением поверхностной плотности заряда в той же точке:

(2.20)

причем вектор напряженности направлен перпендикулярно к поверхности проводника в точке .

Механизм образования поля вблизи поверхности проводника поясняет рис. 2.11. Заряды элемента поверхности создают поле с напряженностью — у поверхности проводника снаружи, и — у поверхности, но внутри проводника, причем из соображений симметрии следует . Остальные заряды поверхности проводника и заряды вне проводника создают вблизи того же элемента поверхности проводника следующее поле. Его напряженность — снаружи, и — внутри, причем .

Рис. 2.11. Механизм образования электрического поля

вблизи поверхности проводника

Таким образом, полное поле вблизи элемента поверхности проводника снаружи имеет напряженность

причем в соответствии с (2.19)

Вывод.Напряженность поля вблизи поверхности проводника состоит из двух равных частей: одна часть создается поверхностными зарядами прилегающего элемента поверхности, а другая – всеми остальными зарядами, лежащими вне этого элемента поверхности.

На распределение плотности заряда на поверхности проводника оказывает влияние кривизна этой поверхности (см. рис. 2.12). Если кривизна поверхности мала (рис. 2.12, а), то заряды вне элемента поверхности создают вблизи этого элемента малую нормальную составляющую напряженности . Для ее компенсации заряды самого элемента создают поле с напряженностью . Поверхностная плотность заряда на элементе , равная , оказывается малой.

Рис. 2.12. Зависимость поверхностной плотности заряда

от кривизны поверхности

Если, напротив, кривизна поверхности велика (рис. 2.12, б), то заряды вне элемента поверхности создают вблизи этого элемента большую нормальную составляющую напряженности . Соответственно, поверхностная плотность заряда на элементе , равная , оказывается большой. Аналогично показывается, что на вогнутой внутрь проводника поверхности плотность заряда меньше, чем даже на плоской поверхности, что иллюстрирует рис. 2.13, где показан заряженный проводник сложной формы. Наибольшая плотность заряда – на острие (в окрестности точки ), а наименьшая — в окрестности точки .

Относительно большая напряженность вблизи острия способствует стеканию заряда с острия (см. рис. 2.14). В окружающем воздухе есть свободные заряды – ионы и электроны. На них со стороны поля зарядов острия действуют силы. По третьему закону Ньютона, на заряды острия действуют противоположно направленные силы. В результате взаимодействия заряды в воздухе вблизи острия и острие получают равные, но противоположно направленные импульсы.

Рис. 2.13. Распределение плотности заряда на поверхности

проводника сложной формы

Рис. 2.14. К объяснению стекания заряда с острия

Заряды в воздухе (отрицательные на рис. 2.14), которые движутся к острию, передают ему свой заряд и импульс при попадании на острие. Этот импульс компенсирует импульс, полученный зарядами острия (положительные на рис. 2.14) при взаимодействии с пришедшими на острие зарядами.

Вывод:Взаимодействие зарядов острия с зарядами противоположного знака окружающего воздуха не вызывает силы, действующей на острие.

Постепенная компенсация зарядов острия зарядами, пришедшими из воздуха, выглядит как стекание зарядов (положительных на рис. 2.14) с острия в воздух. Взаимодействие одноименных (положительных на рис. 2.14) зарядов острия и воздуха вызывает силу , действующую на острие, и силы , действующих на заряды воздуха. Сила отдачи , действующая на острие, равносильна реактивной силе.

Случай, когда острие заряжено отрицательно, так же приводит к возникновению силы отдачи, но электроны (легкие по сравнению с ионами частицы) фактически стекают с острия в воздух.

Заостренные заряженные проводники используют для съема зарядов в различных устройствах. Для предотвращения стекания зарядов с устройств, работающих под высоким напряжением, металлические части делают закругленной формы или снабжают концы проводников шариками.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Увлечёшься девушкой-вырастут хвосты, займёшься учебой-вырастут рога 9841 — | 7702 — или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

Если поместить проводник во внешнее электростатическое поле или его зарядить, то на заряды проводника будет действо­вать электростатическое поле, в результа­те чего они начнут перемещаться. Переме­щение зарядов (ток) продолжается до тех пор, пока не установится равновесное рас­пределение зарядов, при котором электро­статическое поле внутри проводника обра­щается в нуль. Это происходит в течение очень короткого времени. В самом деле, если бы поле не было равно нулю, то в проводнике возникло бы упорядоченное движение зарядов без затраты энергии от внешнего источника, что противоречит закону сохранения энергии. Итак, напря­женность поля во всех точках внутри проводника равна нулю:

Отсутствие поля внутри проводника означает, согласно (85.2), что потенциал во всех точках внутри проводника постоя­нен (=const), т.е. поверхность провод­ника в электростатическом поле является эквипотенциальной (см. §85). Отсюда же

следует, что вектор напряженности поля на внешней поверхности проводника направ­лен по нормали к каждой точке его по­верхности. Если бы это было не так, то под действием касательной составляющей Е заряды начали бы по поверхности про­водника перемещаться, что, в свою оче­редь, противоречило бы равновесному рас­пределению зарядов.

Если проводнику сообщить некоторый заряд Q, то нескомпенсированные заряды располагаются только на поверхности про­водника. Это следует непосредственно из теоремы Гаусса (89.3), согласно которой заряд Q, находящийся внутри проводника в некотором объеме, ограниченном про­извольной замкнутой поверхностью, равен

так как во всех точках внутри поверхности D=0.

Найдем взаимосвязь между напряжен­ностью Е поля вблизи поверхности заря­женного проводника и поверхностной плотностью а зарядов на его поверхности. Для этого применим теорему Гаусса к бес­конечно малому цилиндру с основаниями AS, пересекающему границу проводник — диэлектрик. Ось цилиндра ориентирована вдоль вектора Е (рис. 141). Поток вектора электрического смещения через внутрен­нюю часть цилиндрической поверхности равен нулю, так как внутри проводника e₁ (а следовательно, и d₁) равен нулю, поэтому поток вектора D сквозь замкнутую цилиндрическую поверхность определяет­ся только потоком сквозь наружное осно­вание цилиндра. Согласно теореме Гаусса (89.3), этот поток (DS) равен сумме за-

рядов (Q=S), охватываемых поверхно­стью: DS=S, т. е.

где  — диэлектрическая проницаемость среды, окружающей проводник.

Таким образом, напряженность элек­тростатического поля у поверхности про­водника определяется поверхностной плотностью зарядов. Можно показать, что соотношение (92.2) задает напряженность электростатического поля вблизи поверх­ности проводника любой формы.

Если во внешнее электростатическое поле внести нейтральный проводник, то свободные заряды (электроны, ионы) бу­дут перемещаться: положительные — по полю, отрицательные — против поля (рис. 142, а). На одном конце проводника будет скапливаться избыток положитель­ного заряда, на другом — избыток отрица­тельного. Эти заряды называются индуци­рованными. Процесс будет происходить до тех пор, пока напряженность поля внутри проводника не станет равной нулю, а ли­нии напряженности вне проводника — перпендикулярными его поверхности (рис. 142, б). Таким образом, нейтральный проводник, внесенный в электростатиче­ское поле, разрывает часть линий напря­женности; они заканчиваются на отрица­тельных индуцированных зарядах и вновь начинаются на положительных. Индуци­рованные заряды распределяются на внешней поверхности проводника. Явле­ние перераспределения поверхностных за­рядов на проводнике во внешнем электро­статическом поле называется электроста­тической индукцией.

Из рис. 142, б следует, что индуциро­ванные заряды появляются на проводнике вследствие смещения их под действием поля, т. е.  является поверхностной плот­ностью смещенных зарядов. По (92.1), электрическое смещение D вблизи провод­ника численно равно поверхностной плот­ности смещенных зарядов. Поэтому вектор D получил название вектора электрическо­го смещения.

Так как в состоянии равновесия внут­ри проводника заряды отсутствуют, то создание внутри него полости не повлияет на конфигурацию расположения зарядов и тем самым на электростатическое поле. Следовательно, внутри полости поле будет отсутствовать. Если теперь этот проводник с полостью заземлить, то потенциал во всех точках полости будет нулевым, т. е. полость полностью изолирована от влияния внешних электростатических по­лей. На этом основана электростатическая защита — экранирование тел, например измерительных приборов, от влияния внешних электростатических полей. Вместо сплошного проводника для защи­ты может быть использована густая ме­таллическая сетка, которая, кстати, явля­ется эффективной при наличии не только постоянных, но и переменных электриче­ских полей.

Свойство зарядов располагаться на внешней поверхности проводника исполь­зуется для устройства электростатических генераторов, предназначенных для накоп­ления больших зарядов и достижения раз­ности потенциалов в несколько миллионов вольт. Электростатический генератор, впервые изобретенный американским фи­зиком Р. Ван-де-Граафом (1901 —1967), состоит из шарообразного полого провод­ника 1 (рис. 143), укрепленного на изо­ляторах 2. Движущаяся замкнутая лен­та 3 из прорезиненной ткани заряжается от источника напряжения с помощью системы остриев 4, соединенных с одним из полюсов источника, второй полюс кото­рого заземлен. Заземленная пластина 5 усиливает стекание зарядов с остриев на ленту. Другая система остриев 6 снимает заряды с ленты и передает их полому шару, и они переходят на его внешнюю

поверхность. Таким образом, сфере пере­дается постепенно большой заряд и удает­ся достичь разности потенциалов в не­сколько миллионов вольт. Электростатиче­ские генераторы применяются в высо­ковольтных ускорителях заряженных частиц, а также в слаботочной высоко­вольтной технике.

При внесении проводника в электрическое поле положительные заряды (ядра) и отрицательные (электроны) разделяются. Это явление получило название электростатической индукции. Появляющиеся заряды в результате этого процесса – индуцированные. Они создают дополнительное электрическое поле.

Направление поля таких зарядов – противоположная сторона относительно внешнего. Заряды, которые накапливаются на концах проводника, способны ослаблять внешнее поле. Их перераспределение идет до тех пор, пока не выполняются условия равновесия зарядов для проводников.

Условия равновесного состояния заряда в проводнике

Чтобы заряд на проводнике был в состоянии равновесия, необходимо:

• напряженность поля внутри равнялась нулю E → = 0 , то есть с неизменным потенциалом внутри поля с эквипотенциальным объемом проводника;
• направление вектора E → на поверхности проводника перпендикулярно относительно самого проводника в любой точке поля, при равновесном состоянии поверхности заряда наличие эквипотенциальной поверхности проводника.

Если имеется проводник, заряженный до заряда q , то его распределение выполнится таким образом, что он будет находиться в равновесии. Произведем выделение замкнутой поверхности в переделах указанного тела. Внутри проводник отсутствует, поэтому поток вектора напряженности через избранную поверхность будет равняться нулю. По теореме Гаусса-Остроградского внутри поверхности зарядов нет, соответственно их сумма равна 0 .

Выбранная поверхность – произвольная, поэтому в равновесном состоянии зарядов просто не может быть внутри. Они все распределяются по поверхности с плотностью σ . В проводнике отсутствуют некомпенсированные заряды, поэтому при удалении вещества из него не произойдет перемен в равновесии зарядов. Они просто не могут находиться на поверхности полости проводника в таком состоянии.

Истечение заряда с острия

При наличии большего расстояния от проводника, чем его размеры, рисунок линий похож на поле точечного заряда. Эквипотенциальные поверхности имеют форму сферы, как и у точечного заряда. Вблизи выступов эквипотенциальные поверхности располагаются гуще, тогда напряженность поля больше. Отсюда следует, что особенно большая плотность заряда наблюдается на выступах. Напряженность поля на острие может быть настолько велика, что возникает ионизация молекул газа, который окружает проводник.

Ионы газа с противоположным знаком заряда (относительно заряда проводника) притягиваются к проводнику, нейтрализуя его заряд. Ионы с одинаковыми знаками отталкиваются от проводника, причем «тянут» за собой нейтральные молекулы газа. Явление получило название электрического ветра.

Уменьшение заряда проводника происходит в процессе нейтрализации, то есть стекание с острия. Это явление называется стечением заряда с острия.

Электрическое смещение поля в однородном изотропном диэлектрике около заряженного проводника равняется:

D = σ с σ , обозначающей поверхность распределения зарядов и зависящей от кривизны поверхности.

Запись формулы напряженности приобретает вид:

E = σ ε ε 0 , где ε 0 — электрическая постоянная, а ε — диэлектрическая проницаемость среды.

На элемент поверхности проводника с площадью d S действует сила d F , которая вычисляется по формуле:

d F = σ 2 d S ε ε 0 = ε ε 0 E 2 d S 2 , где E → является напряженностью поля в диэлектрике, в точке нахождения проводника, а d F → направлена в сторону внешней нормали к поверхности проводника.

Примеры решения задач

Описать поведение линий поля при внесении проводника, не обладающего зарядом в электростатическом поле.

Решение

Если внести нейтральный проводник в электрическое поле, то заряды разделяются на отрицательные и положительные – происходит образование индуцированных зарядов. Их перераспределение начинается с момента выполнения условий о равенстве нулю напряженности внутри проводника и перпендикулярности вектора напряженности поля поверхности проводника.

Нейтральный проводник участвует в разрыве части линий напряженности поля, они заканчиваются на отрицательных индуцированных зарядах, которые возникли на поверхности проводника, и снова начинаются с положительных. Распределение индуцированных зарядов идет по поверхности проводника, как указано на рисунке 1 . При имеющейся полости внутри проводника в равновесном состоянии поле внутри нее равняется нулю.

Положительный точечный заряд создает электростатическое поле. В него вносится шар, являющийся проводником. Какими будут эквипотенциальные поверхности и силовые линии результирующего поля?

Решение

При внесении в поле незаряженного проводящего шара, на нем индуцируются заряды, которые распределяются по поверхности шара так, чтобы внутри него поле равнялось нулю, а линии напряженности перпендикулярны к любой точке шара. На рисунке 2 изображены распределения индуцированных зарядов.

Если силовые линии удалять от заданной системы, то по виду они приближаются к радиальным. Эквипотенциальные поверхности результирующего поля становятся сферами.

Получить формулу напряженности поля в вакууме около поверхности заряженного проводника, если положительный заряд распределен по поверхности проводника с поверхностной плотностью σ .

Решение

Решение данного задания возможно при применении теоремы Гаусса-Остроградского. Необходимо выделить небольшую цилиндрическую поверхность на поверхности проводника таким образом, чтобы ось цилиндра была перпендикулярна поверхности, как показано на рисунке 3 .

Расположение линий напряженности поля относительно поверхности проводника перпендикулярно и параллельно относительно осей цилиндра. Определение потока вектора напряженности через площадку ∆ S , используя теорему Гаусса-Остроградского, равняется:

Для определения находящегося внутри выделенной поверхности заряда следует использовать формулу:

Далее нужно совершить подстановку E ∆ S = q ε 0 в q = σ · ∆ S и выразить напряженность поля:

E ∆ S = σ · ∆ S ε 0 → E = σ ε 0 .

Ответ: E = σ ε 0 . При положительном заряде σ > 0 направление вектора напряженности следует от поверхности.