Кусочно линейная аппроксимация это

Кусочно линейная аппроксимация это

В большинстве практических случаев, когда на НЭ цепи воздействует сигнал значительной амплитуды, реальную ВАХ НЭ можно аппроксимировать кусочно-линейной линией, состоящей из нескольких отрезков с различными углами наклона к оси абсцисс. Аппроксимация связана с двумя параметрами НЭ — напряжением начала характеристики Еп и ее дифференциальной крутизной S. Дифференциальная крутизна характеристики в рабочей точке определяется отношением приращения тока к приращению напряжения, и при малых их значениях имеем

Уравнение отрезка прямой при кусочно-линейной аппроксимации

Часто ВАХ НЭ, на который подан большой сигнал, удается с приемлемой точностью аппроксимировать двумя отрезками.

Экспериментальная входная характеристика /б =/(С/бэ) транзистора КТ601А показана на рис. 5.3 штриховой линией. Выполним кусочно-линейную аппроксимацию данной ВАХ в окрестности рабочей точки U0 = 0,6 В.

Рис. 53. Кусочно-линейная аппроксимация ВАХ

По заданной ВАХ находим, что значение тока в рабочей точке /0 = 0,5 мА. Крутизну ВАХ в рабочей точке вычислим приближенно но формуле (5.2). Задав линейное приращение напряжения Дибэ = 0,8 — 0,6 = 0,2 В, находим приращение тока Ai6 = 1,5 — 0,5 = 1 мА Тогда 5 = 1/0,2 = 5 мА/В. В результате аппроксимации характеристики искомый ток базы транзистора в окрестности рабочей точки с координатами /() = 0,5 мА, U0 = 0,6 В определится как гб = 0,5 + 5ы — 0,6) = = 5(Ufa — 0,5). Из этой формулы следует, что прии 0,5 В. Если же напряжение и

Повышения точности аппроксимации нелинейных характеристик достигают увеличением числа отрезков прямых линий.

В соответствии с определением данного метода , расчет нелинейной цепи с его использованием включает в себя в общем случае следующие основные этапы:

1. Исходная характеристика нелинейного элемента заменяется ломаной линией с конечным числом прямолинейных отрезков.

2. Для каждого участка ломаной определяются эквивалентные линейные параметры нелинейного элемента и рисуются соответствующие линейные схемы замещения исходной цепи.

3. Решается линейная задача для каждого отрезка в отдельности.

4. На основании граничных условий определяются временные интервалы движения изображающей точки по каждому прямолинейному участку (границы существования отдельных решений).

Пусть вольт-амперная харак-теристика (ВАХ) нелинейного резистора имеет форму , представленную на рис. 1. Заменяя ее ломаной линией 4 — 3 — 0 — 1 — 2 — 5 , получаем приведенные в табл. 1 расчетные эквивалентные схемы замещения и соответ-ствующие им линейные соотношения.

Расчет каждой из полученных линейных схем замещения при наличии в цепи одного нелинейного элемента и произвольного числа

линейных не представляет труда. В этом случае на основании теоремы об активном двухполюснике исходная нелинейная цепь сначала сводится к схеме , содержащей эквивалентный генератор с некоторым линейным внутренним сопротивлением и последовательно с ним включенный нелинейный элемент , после чего производится ее расчет. При наличии в цепи переменного источника энергии рабочая (изображающая) точка будет постоянно скользить по аппроксимирующей характеристике , переходя через точки излома. Переход через такие точки соответствует мгновенному изменению схемы замещения. Поэтому задача определения искомой переменной сводится не только к расчету схем замещения , но и к определению моментов “переключения” между ними , т.е. нахождению граничных условий по времени. Анализ существенно усложняется , если в цепи имеется несколько нелинейных элементов. Главная трудность в этом случае связана с тем , что заранее не известно сочетание линейных участков , соответствующее заданному входному напряжению (току). Искомое сочетание линейных участков всех нелинейных элементов определяется перебором их возможных сочетаний. Для любого принятого сочетания параметры схемы известны , и , следовательно , могут быть определены напряжения и токи для всех элементов. Если они лежат в пределах соответствующих линейных участков , то принятое сочетание дает верный результат. Если хотя бы у одного нелинейного элемента переменные выходят за границы рассматриваемого линейного участка , то следует перейти к другому сочетанию.

Таблица 1. Кусочно-линейная аппроксимация ВАХ нелинейного резистора

0 — 1 1 — 2 2 — 5 3 — 0 2 — 5

Необходимо отметить , что всегда имеется единственное сочетание линейных участков характеристик нелинейных элементов , соответствующее изменению входного сигнала в некоторых пределах.


В качестве примера определим напряжение в цепи на рис. 2, в которой . ВАХ нелинейного резистора приведена на рис. 3 , где .

1. В соответствии с заданной ВАХ нелинейный резистор на участке 1 — 2 заменяем линейным резистором с сопротивлением

,

на участке 2 — 3 — источником тока с током и на участке 4 — 1 — источником тока с током .

2. На основании данной эквивалентной замены для тока на участке 1 — 2 ВАХ можно записать:

(1)

При движении изображающей точки по участку 2 — 3 ВАХ имеем

,

при движении по участку 1 — 4 ВАХ —

.

3. Определяем интервалы движения изображающей точки по отдельным участкам ВАХ. Для точки излома 1 на основании (1) справедливо уравнение

.

Отсюда получаем два значения мгновенной фазы питающего напряжения на одном периоде , соответствующих точке 1: . Первое значение определяет переход изображающей точки с участка 4 — 1 на участок 1-2, второе – с участка 2-1 на участок 1-4.

Аналогично записываем для точки 2 излома ВАХ

откуда (значение , соответствующее переходу с участка 1 — 2 на участок 2 — 3) и (значение , соответствующее переходу с участка 3 — 2 на участок 2 — 1).

Таким образом , получаем для одного периода питающего напряжения

;

;

;

;

В соответствии с периодичностью синусоидальной функции данные решения повторяются через 360°n.

На рис. 4 представлен график зависимости искомой величины.

Метод гармонического баланса

Применение аналитического выражения для аппроксимации характеристики нелинейного элемента позволяет наименее трудоемко провести расчет, когда закон изменения во времени одной из переменных, определяющих работу нелинейного элемента (ток или напряжение для резистора, потокосцепление или ток для катушки индуктивности, заряд или напряжение для конденсатора), задан или вытекает из предварительного анализа физических условий протекания процесса, что имело место при решении предыдущих задач данного раздела. Если такая определенность отсутствует, то задачу в общем случае можно решить только приближенно. Одним из таких методов, наиболее широко применимым на практике, является метод гармонического баланса.

Метод основан на разложении периодических функций в ряд Фурье. В общем случае искомые переменные в нелинейной электрической цепи несинусоидальны и содержат бесконечный спектр гармоник. Ожидаемое решение можно представить в виде суммы основной и нескольких высших гармоник, у которых неизвестными являются амплитуды и начальные фазы. Подставляя эту сумму в нелинейное дифференциальное уравнение, записанное для искомой величины, и приравнивая в полученном выражении коэффициенты перед гармониками (синусоидальными и косинусоидальными функциями) одинаковых частот в его левой и правой частях, приходим к системе из 2n алгебраических уравнений, где n-количество учтенных гармоник. Необходимо отметить, что точное решение требует учета бесконечного числа гармоник, что невозможно осуществить практически. В результате ограничения числа рассматриваемых гармоник точный баланс нарушается, и решение становится приближенным.

Методика расчета нелинейной цепи данным способом включает в себя в общем случае следующие основные этапы:

1. Записываются уравнения состояния цепи для мгновенных значений.

2. Выбирается выражение аналитической аппроксимации заданной нелинейности.

3. На основе предварительного анализа цепи и нелинейной характеристики задается выражение искомой величины в виде конечного ряда гармоник с неизвестными на этом этапе амплитудами и начальными фазами .

4. Осуществляется подстановка функций, определенных в пунктах 2 и 3, в уравнения состояния с последующей реализацией необходимых тригонометрических преобразований для выделения синусных и косинусных составляющих гармоник.

5. Производится группировка членов в полученных уравнениях по отдельным гармоникам, и на основании приравнивания коэффициентов при однопорядковых гармониках в их левых и правых частях (в отдельности для синусных и косинусных составляющих) записывается система нелинейных алгебраических (или трансцендентных) уравнений относительно искомых амплитуд и начальных фаз функции разложения определяемой величины.

6. Осуществляется решение (в общем случае численными методами на ЭВМ) полученной системы уравнений относительно и .

Частным случаем метода гармонического баланса является метод расчета по первым гармоникам несинусоидальных величин (метод гармонической линеаризации), когда высшими гармониками искомых переменных, а также входных воздействий пренебрегают. При анализе используется характеристика нелинейного элемента по первым гармоникам, для получения которой в аналитическое выражение нелинейной характеристики для мгновенных значений подставляется первая гармоника одной из двух переменных, определяющих эту характеристику, и находится нелинейная связь между амплитудами первых гармоник этих переменных. Этапы расчета соответствуют изложенным для метода гармонического баланса. При этом, в силу того, что конечная система нелинейных уравнений имеет второй порядок, в ряде случаев появляется возможность их аналитического решения. Кроме того, поскольку рассматриваются только первые гармоники несинусоидальных величин, при расчете можно использовать символический метод.

Пусть, например, в цепи, питаемой от источника синусоидального напряжения и состоящей из последовательно соединенных линейного резистора и нелинейной катушки, вебер-амперная характеристика которой задана аппроксимацией вида , необходимо определить первую гармонику тока, задаваемую выражением , где и — неизвестные (искомые величины).

Для решения определяем аналитическое выражение характеристики для первых гармоник:

. (2)

После подстановки выражения тока и соотношения (2) в уравнение состояния цепи

На основании последнего получаем систему уравнений

из которых находим искомые параметры и .

  1. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
  2. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.2. Жуховицкий Б.Я., Негневицкий И.Б. Линейные электрические цепи (продолжение). Нелинейные цепи. –М.:Энергия- 1972. –200с.
  3. Каплянский А.Е. и др. Теоретические основы электротехники. Изд. 2-е. Учеб. пособие для электротехнических и энергетических специальностей вузов. –М.: Высш. шк., 1972. –448 с.

Контрольные вопросы и задачи

  1. В чем заключается сущность метода кусочно-линейной аппроксимации?
  2. На чем основан метод гармонического баланса?
  3. Сформулируйте основные этапы расчета нелинейной цепи методом гармонического баланса.
  4. В чем состоит сущность метода расчета по первым гармоническим?
  5. Как определяется характеристика нелинейного элемента для первых гармоник?
  6. Резистивная нагрузка подключена к источнику синусоидального напряжения через последовательно включенный с ней диод. Считая ВАХ диода идеальной, определить коэффициент мощности. Обоснуйте физически полученный результат.

Ответ: .

Последовательно соединенные линейный конденсатор с и нелинейная катушка, вебер-амперная характеристика которой аппроксимирована выражением , где , питаются от источника синусоидального напряжения . Ограничившись рассмотрением первой и третьей гармонических, определить потокосцепление.

Ответ: .

В практике любителя микроконтроллеров нередко возникает необходимость работы с каким-либо аналоговым датчиком, например, терморезистором или термопарой. Многие из аналоговых датчиков обладают нелинейной характеристикой, которая обычно приводится в документации в виде графика.

По горизонтали показано выходное напряжение датчика, а по вертикали — измеряемая величина. При разработке программы, обрабатывающей сигнал с подобного датчика возникает проблема: как в программе реализовать подобную характеристику датчика в виде функции?

Наиболее простой метод заключается в замене сложной кривой ломаной линией, как показано на следующем рисунке.

Тонкая синяя линия состоит из отрезков прямых, по возможности максимально совпадающей с основной кривой. Работать с отрезками прямых в программе значительно проще, т. к. математически прямая описывается простым уравнением Y = k * X + c. Разумеется, замена гладкой кривой прямолинейными участками дает лишь приближенную картину соответствия X и Y, но тут уж надо идти на компромиссы.

Итак, мы заменили исходную кривую ломаной линией, т. е. выполнили кусочно-линейную аппроксимацию.

Ломаная линия определяется координатами (X;Y) точек ее изломов, т. е. для нашего случая это точки (0.8; 83), (2.2; 88), (3; 88), (4.2; 80), (5.2; 70), (7.8; 30), (10; 20) и (14.8; 12).

Теперь, прежде чем двигаться дальше, вспомним немножко школьную математику. Рассмотрим отрезок на координатной плоскости.

Отрезок AB задается координатами двух точек (XA; YA) и (XB; YB). Отрезок — это часть прямой, а уравнение прямой, как уже было сказано, описывается так: Y = k*X + c. Так как обе точки лежат на прямой, можно составить систему из двух уравнений:

YA = k*XA + с
YB = k*XB + с

В этой системе у нас два неизвестных k и c, следовательно, для их нахождения эту систему надо решить. Надеюсь, решение системы уравнений труда не составит, поэтому сам процесс не привожу, а привожу только готовое решение:

k = (YA — YB)/(XA — XB); с = YA — k * XA [1]

Таким образом, возвращаясь к нашей ломаной, мы по вышеприведенным формулам легко получим уравнения для каждого из отрезков ломаной по координатам точек ее излома. Остается лишь описать процесс на языке Си.

#define PT_CNT 8

typedef struct <
float X, Y;
> POINT;

Читайте также:  Место хранения под подоконником
Оценить статью
Добавить комментарий