Периодическими несинусоидальными токами и напряжениями называют токи и напряжения, изменяющиеся во времени по периодическому несинусоидальному закону.
Они возникают при четырех различных режимах работы электрических цепей (и при сочетаниях этих режимов):
1) когда источник ЭДС (источник тока) дает несинусоидальную ЭДС (несинусоидальный ток), а все элементы цепи — резистивные, индуктивные и емкостные — линейны, т. е. от тока не зависят;
2) если источник ЭДС (источник тока) дает синусоидальную ЭДС (синусоидальный ток), но один или несколько элементов цепи нелинейны;
3) когда источник ЭДС (источник тока) дает несинусоидальную ЭДС (несинусоидальный ток), а в состав электрической цепи входят один или несколько нелинейных элементов;
4) если источник ЭДС (тока) дает постоянную или синусоидальную ЭДС (ток), а один или несколько элементов цепи периодически изменяются во времени.
В данной главе рассматриваются методика расчета и особенности работы линейных электрических цепей при воздействии на них несинусоидальных ЭДС и токов — первый из перечисленных режимов работы. Второй и частично третий режимы работы обсуждаются в гл. 15, четвертый — в гл. 18.
В промышленных сетях идеальных синусоид тока и напряжения практически не бывает. Возникающие искажения и пульсации напряжения, а также перекосы фаз связаны с несимметричной нагрузкой и присутствием нелинейных элементов (элементы со стальными сердечниками, выпрямительные установки, вентильные элементы, электрические дуговые печи).
Несинусоидальные токи и напряжения можно представить в виде суммы синусоидальных напряжений и токов при помощи разложения в ряд Фурье с ограничением числа членов.
Кривая несинусоидальности тока на нагрузке при однополупериодном выпрямлении с использованием диода
— постоянная составляющая;
— амплитуды гармонических составляющих;
— частота основной гармоники;
— начальные фазы гармоник.
На практике для выбора и оценки различных электротехнических устройств, при расчетах и измерениях в электрических цепях с периодическими токами и напряжениями любой формы в качестве одной из основных характеристик пользуются действующим значением.
Действующее значение ЭДС (напряжения) и тока:
Средние значения мощности:
Примечание. В цепях периодического несинусоидального тока:
Для оценки отклонения формы несинусоидальных кривых тока и напряжения от синусоиды пользуются коэффициентами формы кривой, искажения и амплитуды.
Коэффициент формы определяется как отношение действующего значения тока или напряжения к его среднему по модулю значению, т.е.
Для синусоиды Кф= 1,11.
Коэффициент искажения равен отношению действующего значения первой гармоники к действующему значению несинусоидального тока или напряжения
Для синусоиды Ки = 1.
Коэффициент амплитуды равен отношению максимального значения несинусоидального тока или напряжения к действующему
Для синусоиды 
Максимальное значение напряжений измеряют амплитудным электронным вольтметром.
Возможность разложения периодических несинусоидальных электрических величин в ряд Фурье позволяет свести расчет электрических цепей с линейными элементами при воздействии несинусоидальных ЭДС к расчету цепей с постоянными и синусоидальными токами.
Мгновенные значения искомых токов и напряжений определяют на основе принципа наложения путем суммирования постоянных и гармонических составляющих тока и напряжения, найденных в результате расчетов.
Предыдущие лекции были посвящены анализу электрических цепей при синусоидальных токах и напряжениях. На практике ЭДС и токи в большей или меньшей степени являются несинусоидальными. Это связано с тем, что реальные генераторы не обеспечивают, строго говоря, синусоидальной формы кривых напряжения, а с другой стороны, наличие нелинейных элементов в цепи обусловливает искажение формы токов даже при синусоидальных ЭДС источников.
На практике к несинусоидальности напряжений и токов следует подходить двояко:
- в силовой электроэнергетике несинусоидальные токи обусловливают в общем случае дополнительные потери мощности, пульсации момента на валу двигателей, вызывают помехи в линиях связи; поэтому здесь необходимо «всеми силами» поддержание синусоидальных режимов;
- в цепях автоматики и связи, где несинусоидальные токи и напряжения лежат в основе принципа действия электротехнических устройств, задача наоборот заключается в их усилении и передаче с наименьшими искажениями.
В общем случае характер изменения величин может быть периодическим, почти периодическим и непериодическим. В данном разделе будут рассматриваться цепи только с периодическими переменными.
Периодическими несинусоидальными величинами называются переменные, изменяющиеся во времени по периодическому несинусоидальному закону. Причины возникновения несинусоидальных напряжений и токов могут быть обусловлены или несинусоидальностью источника питания или (и) наличием в цепи хотя бы одного нелинейного элемента. Кроме того, в основе появления несинусоидальных токов могут лежать элементы с периодически изменяющимися параметрами.
В качестве примера на рис. 1,а представлена цепь с нелинейным резистором (НР), нелинейная вольт-амперная характеристика (ВАХ) которого обусловливает несинусоидальную форму тока i в цепи при синусоидальном напряжении u на ее входе (см. рис. 1,б).
Характеристики несинусоидальных величин
Для характеристики несинусоидальных периодических переменных служат следующие величины и коэффициенты (приведены на примере периодического тока):
- Максимальное значение —
. - Действующее значение —
. - Среднее по модулю значение —
. - Среднее за период значение (постоянная составляющая) —
. - Коэффициент амплитуды (отношение максимального значения к действующему) —
. - Коэффициент формы (отношение действующего значения к среднему по модулю) —
. - Коэффициент искажений (отношение действующего значения первой гармоники к действующему значению переменной) —
. - Коэффициент гармоник (отношение действующего значения высших гармонических к действующему значению первой гармоники) —
.
Разложение периодических несинусоидальных
кривых в ряд Фурье
Из математики известно, что всякая периодическая функция 
, где Т – период, удовлетворяющая условиям Дирихле, может быть разложена в тригонометрический ряд. Можно отметить, что функции, рассматриваемые в электротехнике, этим условиям удовлетворяют, в связи с чем проверку на их выполнение проводить не нужно.
При разложении в ряд Фурье функция представляется следующим образом:
 . |
(1) |
Здесь 
— постоянная составляющая или нулевая гармоника; 
— первая (основная) гармоника, изменяющаяся с угловой частотой 
, где Т – период несинусоидальной периодической функции.
В выражении (1) 
, где коэффициенты 
и 
определяются по формулам
;
.
Свойства периодических кривых, обладающих симметрией
Коэффициенты ряда Фурье для стандартных функций могут быть взяты из справочной литературы или в общем случае рассчитаны по приведенным выше формулам. Однако в случае кривых, обладающих симметрией, задача существенно упрощается, поскольку из их разложения выпадают целые спектры гармоник. Знание свойств таких кривых позволяет существенно сэкономить время и ресурсы при вычислениях.
-
Кривые, симметричные относительно оси абсцисс.
К данному типу относятся кривые, удовлетворяющие равенству 
(см. пример на рис. 2). В их разложении отсутствуют постоянная составляющая и четные гармоники, т.е. 
.
Кривые, симметричные относительно оси ординат.
К данному типу относятся кривые, для которых выполняется равенство 
(см. пример на рис. 3). В их разложении отсутствуют синусные составляющие, т.е. 
.
Кривые, симметричные относительно начала координат.
К этому типу относятся кривые, удовлетворяющие равенству 
(см. пример на рис. 4). При разложении таких кривых отсутствуют постоянная и косинусные составляющие, т.е. 
.
Действующее значение периодической несинусоидальной переменной
Как было показано выше, действующим называется среднеквадратичное за период значение величины:
.
При наличии аналитического выражения функции i(t) и возможности взятия интеграла от ее квадрата действующее значение i(t) определяется точно. Однако в общем случае на практике действующее значение переменной определяется на основе информации о действующих значениях конечного ряда гармонических.
Пусть 
. Тогда
Очевидно, что каждый из интегралов от тригонометрических функций в последнем выражении равен нулю. Таким образом,
.
Аналогичные выражения имеют место для ЭДС, напряжения и т.д.
Мощность в цепях периодического несинусоидального тока
Пусть 
и 
.
Тогда для активной мощности можно записать
.
Как было показано при выводе соотношения для действующего значения несинусоидальной переменной, среднее за период значение произведения синусоидальных функций различной частоты равно нулю. Следовательно,
,
где 
.
Таким образом, активная мощность несинусоидального тока равна сумме активных мощностей отдельных гармонических:
.
Аналогично для реактивной мощности можно записать
.
,
где Т – мощность искажений, определяемая произведениями действующих значений разнопорядковых гармонических тока и напряжения.
Методика расчета линейных цепей при периодических несинусоидальных токах
Возможность разложения периодических несинусоидальных функций в ряд Фурье позволяет свести расчет линейной цепи при воздействии на нее несинусоидальных ЭДС (или токов) источников к расчету цепей с постоянными и синусоидальными токами в отдельности для каждой гармоники. Мгновенные значения искомых токов и напряжений определяются на основе принципа наложения путем суммирования найденных при расчете гармонических составляющих напряжений и токов. В соответствии с вышесказанным цепь на рис. 5 при воздействии на нее ЭДС
(при расчете спектр рассматриваемых гармоник ограничивается) в расчетном плане представляется суммой цепей на рис. 6.
Здесь 
.
Тогда, например, для тока в ветви с источником ЭДС, имеем
,
где каждая к-я гармоника тока рассчитывается символическим методом по своей к-й расчетной схеме. При этом (поверхностный эффект не учитывается) для всех гармоник параметры 
и С постоянны.
;
.
Необходимо помнить, что ввиду различия частот суммировать комплексы различных гармоник недопустимо.
Таким образом, методика расчета линейных цепей при несинусоидальных токах сводится к следующему:
- ЭДС и токи источников раскладываются в ряды Фурье.
- Осуществляется расчет цепи в отдельности для каждой гармонической.
- Искомые величины определяются как алгебраические суммы соответствующих гармонических.
- Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
- Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
- Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.1. К.М.Поливанов. Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными. –М.: Энергия- 1972. –240с.
- Что является причиной появления несинусоидальных токов и напряжений в электрических цепях?
- Какие величины и коэффициенты характеризуют периодические несинусоидальные переменные?
- Какие гармонические отсутствуют в спектрах кривых, симметричных относительно: 1) оси абсцисс; 2) оси ординат; 3) начала системы координат?
- Достаточно ли для определения величины полной мощности в цепи несинусоидального тока наличие информации об активной и реактивной мощностях?
- Для каких цепей справедлива методика расчета цепей несинусоидального тока, основанная на разложении ЭДС и токов источников в ряды Фурье?
- Не прибегая к разложению в ряд Фурье, определить коэффициенты амплитуды и формы кривой на рис. 4.
Ответ: 
.
Определить действующее значение напряжения на зажимах ветви с последовательным соединением резистора с 
и катушки индуктивности с 
, если ток в ней 
. Рассчитать активную мощность в ветви.
Ответ: U=218 В; Р=1260 Вт.
Определить действующее значение тока в ветви с источником ЭДС в схеме на рис. 5, если 
; 
.
