,
Формула используется для пересчета априорных вероятностей гипотез H1, H2. Hn при условии, что событие А уже произошло.
Пример.Имеется три урны с различным составом шаров в каждой. В первой — 5 белых и 5 черных, во второй — 3 белых и 3 черных, в третьей — 2 белых и 4 черных.
Из случайно выбранной урны извлекается шар. Он оказался белым. Определить вероятность того, что он был вынут из третьей урны.
Решение:
Введем обозначения для рассматриваемых событий.
Пусть А — извлечен белый шар. 
— выбрана первая урна.
— выбрана вторая урна. 
— выбрана третья урна.
— вероятность извлечения белого шара из первой урны.
— вероятность извлечения белого шара из второй урны.
— вероятность извлечения белого шара из третьей урны.
Определим вероятности, соответствующие этим событиям . Так как все урны одинаковы, то
.
, 
, 
.
Тогда, используя формулу полной вероятности, получим:
.
Пересчитаем вероятность третьей гипотезы с условием, что произошло рассматриваемое событие, используя формулу Байеса.
= 
.
ЗАДАЧИ
1. Рабочий обслуживает 4 станка. Вероятность того, что в течение часа первый станок не потребует внимания рабочего равна 0,3; второй — 0,4 ; третий — 0,7 ; четвертый — 0,4. Найти вероятность того, что ни один станок в течение часа не потребует внимания рабочего.
2. Для сообщения об аварии установлено два независимо работающих сигнализатора — автомата. Вероятность того, что при аварии сработает первый сигнализатор, равна 0,95; второй — 0,9. Найти вероятность того, что при аварии поступит сигнал: а) хотя бы от одного сигнализатора; б) только от одного сигнализатора.
3.В студии телевидения три телевизионные камеры. Для каждой камеры вероятность того, что она включена в данный момент, равна 0,6. Найти вероятность того, что в данный момент включена хотя бы одна камера.
4.Пусть вероятность того, что покупателю необходима обувь сорок первого размера, равна 0,2. Найти вероятность того, что пять первых покупателей потребуют обувь сорок первого размера.
5. Два орудия ведут стрельбу по танку. Вероятность попадания для первого орудия — 0,5; для второго — 0,4. Найти вероятность хотя бы одного попадания в танк, если из каждого орудия сделано по 3 выстрела.
6. В урну, содержащую два шара, опущен белый шар. После чего из нее наудачу извлечен шар. Найти вероятность того, что извлеченным окажется белый, если равновероятны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).
7. Из группы туристов, отправляющихся за границу, 60 % владеют английским языком, 40 % — французским и 10 % — обоими языками. Найти вероятность того, что наугад взятый турист не будет знать ни одного языка.
8. На строительство объекта поступают железобетонные плиты из 4 цементных заводов в количестве 50, 10, 40 и 30 штук соответственно. Каждый из заводов допускает при изготовлении плит брак (несоответствие ГОСТ), равный в процентном отношении соответственно 1, 5, 2 и 3. Какова вероятность того, что наугад взятая плита будет удовлетворять требованиям ГОСТ?
9. В городе находятся 15 продовольственных и 5 непродовольственных магазинов. Случайным образом для приватизации были отобраны три магазина. Найти вероятность того, что третий по счету магазин – непродовольственный.
10. Инвестор вложил капитал в ценные бумаги двух финансовых фирм. При этом он надеется получить доход в течение обусловленного времени от первой фирмы с вероятностью 0,9; от второй – с вероятностью 1. Однако есть возможность банкротства фирм независимо друг от друга, которая оценивается для первой фирмы вероятностью 0,1; для второй – 0,02. В случае банкротства фирмы инвестор получает только вложенный капитал. Какова вероятность того, что инвестор получит прибыль?
Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:
Лучшие изречения: Увлечёшься девушкой-вырастут хвосты, займёшься учебой-вырастут рога 9848 — 
| 7704 — 
или читать все.
91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.
Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно
Для сигнализации на складе установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при необходимости первое устройство сработает, составляет р1=95%, для второго и третьего устройства эти вероятности равны соответственно р2=75% и р3=70%. Найти вероятность того, что в случае необходимости сработают:
1) все устройства;
2) только одно устройство;
3) хотя бы одно устройство.
1) обозначим через событие А — все устройства сработали. Тогда
2) обозначим через событие В — сработает только одно устройство.
3) обозначим через событие С — хотя бы одно устройство сработало, т.е. сработало одно или два или три устройства.
Противоположное событие. — ни одно устройство не сработало.
Ответ: 1) 0,4988 ; 2) 0,0913 ; 3) 0,9962.
В партии, состоящей из n=55 одинаково упакованных изделий, смешаны изделия двух сортов, причем k=35 из этих изделий — первого сорта, а остальные изделия — второго сорта. Найти вероятность того, что взятые наугад два изделия окажутся:
2) разных сортов.
Обозначим через: событие. — изделие первого сорта
событие. — изделие второго сорта
1) событие А — изделия одного сорта
2) событие В — изделия разных сортов
Ответ: 1)0.4717; 2) 0.3288
На строительство объекта поступают железобетонные плиты от четырех цементных заводов в количестве 50, 10, 40 и 30 штук соответственно. Каждый из заводов допускает при изготовлении плит брак, составляющий соответственно 1%, 5%, 2% и 3%.
1) Какова вероятность, что наугад взятая плита будет удовлетворять требованиям ГОСТа?
2) Наугад взятая плита удовлетворяет требованиям ГОСТа. Какова вероятность, что она произведена на четвертом заводе?
событие. — наугад взятая плита удовлетворяет требованиям ГОСТа
событие. — плита изготовлена первым заводом
событие. — плита изготовлена вторым заводом
событие. — плита изготовлена третьим заводом
событие. — плита изготовлена четвертым заводом
По условию задачи имеем
— вероятность того, что плита, изготовленная первым заводом, удовлетворяет ГОСТу
— вероятность того, что плита, изготовленная вторым заводом, удовлетворяет ГОСТу
— вероятность того, что плита, изготовленная третьим заводом, удовлетворяет ГОСТу
— вероятность того, что плита, изготовленная четвертым заводом, удовлетворяет ГОСТу
1) Найдем вероятность того, что наугад взятая плита, удовлетворяет ГОСТу, используя формулу полной вероятности:
2) Наугад взятая плита удовлетворяет требованиям ГОСТа. Найдем вероятность, что она произведена на четвертом заводе. Воспользуемся формулой Байеса:
Ответ: 1) 0.9792 ; 2) 0.2286
Вероятность того, что в результате проверки изделию будет присвоен знак "изделие высшего качества" равна p=0,2.
1. На контроль поступило n=9 изделий. Какова вероятность того, что знак высшего качества будет присвоен:
а) ровно m=6 изделиям;
б) более чем k=7 изделиям;
в) хотя бы одному изделию;
г) указать наивероятнейшее количество изделий, получивших знак высшего качества, и найти соответствующую ему вероятность.
2. При тех же условиях найти вероятность того, что в партии из N=34 изделий знак высшего качества получает:
а) ровно половина изделий;
б) не менее чем k1=5, но не более, чем k2=20 изделий.
1. а) Искомую вероятность найдем по формуле Бернулли:
б) обозначим через событие А — более чем k=7 изделиям присвоен знак высшего качества.
в) событие С — хотя бы одному изделию — одному и более.
Противоположное событие. — ни одному изделию
г) найдем наивероятнейшее. количество изделий, получивших знак высшего качества по формуле:
или. т.е. вероятнее всего одно или два изделия получат знак высшего качества
Соответствующие им вероятности равны:
2. а) воспользуемся локальной теоремой Лапласа:
по таблице находим.
б) будем использовать интегральную теорему Лапласа:
В лотерее на каждые 100 билетов приходиться m1=3 билетов с выигрышем a1=15 тыс. рублей, m2=10 билетов с выигрышем a2=15 тыс. рублей, m3=15 билетов с выигрышем a3=8 тыс. рублей и т.д. Остальные билеты из сотни не выигрывают.
Составить закон распределения величины выигрыша для владельца одного билета и найти его основные характеристики: математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Пояснить смысл указанных характеристик.
Случайная величина Х — дискретная величина. Составим закон распределения этой случайной величины, перечислив все е возможные значения и найдя соответствующие им вероятности. Число выигрышных билетов из 100 составляет: 3+10+15+20=48, значит, число невыигрышных билетов: 100 — 48 =52.
Располагая величины возможного выигрыша. в порядке возрастания, получим следующую таблицу:
0,52 0,2 0,15 0,1 0,03
а) Математическое ожидание случайной величины Х:
Ожидаемый средний выигрыш на один билет составляет 3,2 тыс.руб.
Дисперсию вычислим по формуле:
Среднее квадратическое отклонение равно:
тыс.руб. — характеристика разброса фактических значений выигрыша от найденного среднего значения. то есть основные значения случайной величины выигрыша находятся в диапазоне (3,2. 4,8693), что соответствует таблице данных.
Вес изготовленного серебряного изделия должен составлять а=130 граммов.
При изготовлении возможны случайные погрешности, в результате которых вес изделия случаен, но подчинен нормальному закону распределения со средним квадратическим отклонением ?=5 граммов.
Требуется найти вероятность того, что:
1) Вес изделия составит от ?=125 до ?=140 граммов;
2) Величина погрешности в весе не превзойдет ?=12 граммов по абсолютной величине.
a) воспользуемся формулой:
По таблице приложения 2.
Искомая вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в интервал (125; 140) равна:
b) вероятность того, что абсолютная величина отклонения "X-a" окажется меньше ?=12, равна:
Ответ: а) 0.9938; б) 0.1
По итогам выборочных обследований для некоторой категории сотрудников величина их дневного заработка X руб. и соответствующее количество сотрудников ni представлены в виде интервального статистического распределения.
1) Построить гистограмму относительных частот распределения.
2) Найти основные характеристики распределения выборочных данных: среднее выборочное значение, выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение.
3) Оценить генеральные характеристики по найденным выборочным характеристикам.
1) Считая, что значение X в генеральной совокупности подчинены нормальному закону распределения, найти доверительный интервал для оценки математического ожидания (генерального среднего значения) с надежностью ?=0.94, считая, что генеральная дисперсия равна исправленной выборочной дисперсии.
xi 42 — 44 44 — 46 46 — 48 48 — 50 50 — 52
ni 7 12 18 13 5
1) вычислим относительные частоты для каждого частичного интервала:
В итоге получено следующее интервальное распределение относительных частот признака Х:
xi 42 — 44 44 — 46 46 — 48 48 — 50 50 — 52
wi 0.1272 0.2182 0.3272 0.2364 0.091
Длина каждого частичного интервала равна 2. Следовательно, шаг разбиения.
Построим гистограмму относительных частот.
xi 42 — 44 44 — 46 46 — 48 48 — 50 50 — 52
wi/h 0.0636 0.1091 0.1636 0.1182 0.0455
2) для нахождения характеристик выборки интервального распределения признака Х перейдем к дискретному, выбирая в качестве значений признака xi середины частичных интервалов:
xi 43 45 47 49 51
ni 7 12 18 13 5
Средняя выборочная квадратов:
2) доверительный интервал для оценки средней найдем по формуле:
Где значение t определим по таблице
С целью анализа взаимного влияния прибыли предприятия и его издержек выборочно были проведены наблюдения за этими показателями в течении ряда месяцев: X — величина месячной прибыли в тыс. руб., Y — месячные издержки в процентах к объему продаж.
Результаты выборки сгруппированы и представлены в виде корреляционной таблицы, где указаны значения признаков X и Y и количество месяцев, за которые наблюдались соответствующие пары значений названных месяцев.
1) По данным корреляционной таблицы найти условные средние. и.
2) Оценить тесноту линейной связи между X и Y.
3) Составить уравнение линейной регрессии Y по X и X по Y.
4) Сделать чертеж, нанеся на него условные средние и найденные прямые регрессии.
5) Оценить силу связи между признаками с помощью корреляционного отношения.
Найдем условные средние. и. по формулам:
Для того, чтобы найти коэффициент корреляции составим вспомогательные таблицы:
25 6 150 3750 15,33 2299.5
35 9 315 11025 18,67 5881.05
45 9 405 18225 29,22 11834.1
55 9 495 27225 26,44 13087.8
65 9 585 38025 32,56 19047.6
42 1950 98250 52150.05
12 2 24 288 25 600
17 10 170 2890 24 4080
22 5 110 2420 43 4730
27 13 351 9477 52.69 18494.19
32 9 288 9216 55 15840
37 3 111 4107 65 7215
42 1054 28398 50959.19
Найдем выборочные средние:
Найдем средние квадратические отклонения:
Найдем коэффициент корреляции:
Следовательно, связь между признаками X и Y является высокой и прямой.
Составим уравнение линии регрессии. по.
Составим уравнение линии регрессии. по.
Построим графики линий регрессии и нанесем точки.
Вычислим корреляционные отношения:
Где межгрупповые дисперсии вычисляются по формулам:
Железобетон — это материал, в котором соединены в единое целое стальная арматура и бетон. Бетон частично защищает металл арматуры от коррозии и воспринимает в этом композите сжимающие напряжения, а арматура — растягивающие усилия: известно, что металл хорошо работает на растяжение, а относительно хрупкий бетонный камень — на сжатие.
Цемент и вода являются активными составляющими бетона — в результате реакции между ними образуется цементный камень, скрепляющий зерна заполнителей в единый монолит. Между цементом и заполнителем не происходит химического взаимодействия, поэтому заполнители часто называют инертными материалами. Однако, крупный заполнитель (щебень горных пород или известняка) и мелкий заполнитель (кварцевый, он же речной песок) существенно влияют на структуру и свойства бетона.
В качестве арматуры используются металлические (стальные) прутки или пучки проволок. Арматура подразделяется на рабочую и монтажную. Рабочая арматура располагается в нижней части железобетонных изделий, работающих на изгиб: плит перекрытий, балок, в подошвах фундаментных блоков. Монтажная арматура создает объемный скелет ЖБИ, фиксирует расположение стержней рабочей арматуры, способствует фиксации и закреплению закладных деталей и монтажных петель.
Одной из разновидностей железобетона является напряжённый железобетон. За счет применения специальных технологических приемов, в процессе изготовления материалов из напряженного железобетона арматура замоноличивается в бетоне в частично растянутом виде.
Дело в том, что плиты перекрытий и несущие балки в конструкции работают на изгиб. Во-первых, они воспринимают нагрузку конструкции пола (в том числе и собственный вес); во-вторых – нагрузку от бытовых предметов, размещенных на этаже; в третьих – нагрузку, передающуюся от стен на каркас здания. В результате, нижние слои плиты перекрытия или несущей балки находятся в слегка растянутом виде, что отрицательно сказывается на их надёжности.
Если же нижние слои панели или балки в процессе изготовления были искусственно сжаты («напряжённый» железобетон), то под бытовой и конструкционной нагрузкой они будут находиться в нейтральном состоянии, напряжения в них будут минимальны, а значит и минимальны будут проблемы, связанные с эксплуатацией конструкции.
Как изготавливают железобетонные изделия?
Плиты перекрытий (пустотные и ребристые), перемычки, элементы оград, подвалов и фундаментов, плиты дорожных покрытий, детали колодцев и столбы освещения – всё это изделия из железобетона. Очевидно, что каждое железобетонное изделие имеет характерную для него систему армирования, рецептуру бетона и технологию изготовления.
Плиты перекрытия и перемычки, работающие на изгиб, изготавливают из предварительно напряжённого железобетона. В подготовленную форму на специальные упоры устанавливают арматурные стержни, натягивают их (механически, с помощью домкратов, или термомеханически, посредством разогрева электрическим током) и закрепляют в натянутом положении на бортоснастке формы.
Заливка бетонной смеси с последующим виброуплотнением может осуществляться на стендах (с введением пустотообразователей) или на конвейерных линиях, в том числе и способами проката или роликового формования, после чего изделия в формах отправляют на тепловую обработку в специальные камеры. Цель тепловой обработки – ускорение твердения бетона, и через 8..12 часов пропаривания при температуре среды 80..95°C изделие набирает 65..75% своей марочной прочности, эквивалентной 28 суткам твердения в естественных условиях. После того, как изделие затвердело, напряжённые арматурные стержни освобождают от крепления на стенках формы. Стержни частично сжимаются по длине и напряжение от них передается бетону в изделии – в прилегающих к арматурным стержням областях бетона формируется напряжённое состояние.
ЖБИ цилиндрической формы (стойки, кольца и т.п.) изготавливают методом центрифугирования. Предварительно в полуформу, размещённую на стенде центрифуги, укладываются арматурные стержни (при необходимости их натягивают), на которые навивается металлическая проволока – формируется каркас железобетонного изделия. С помощью ложкового бетонораздатчика по всей длине полуформы распределяется бетонная смесь, одну полуформу накрывают сверху другой и включают центрифугу. На первом этапе, бетонная смесь, за счёт центробежных сил, распределяется у внешней ограждающей поверхности цилиндрической формы. На втором этапе, за счёт изменяющейся частоты вращения центрифуги, происходит уплотнение бетонной смеси и формование железобетонного изделия. Далее изделия (в полуформах или распалубленные) отправляют на тепловую обработку.
Что нельзя делать при монтаже ЖБИ
Любое строительное изделие, в том числе и ЖБИ, рассчитано на определенные нагрузки, превышение которых нежелательно или недопустимо. Для ЖБИ, работающих на изгиб, строительными нормами и правилами установлены нормативно-допустимые нагрузки. Оговоримся сразу, что величина этих нагрузок обеспечивает весьма и весьма значительный запас надёжности и, при корректном монтаже конструкции, разрушение железобетонного изделия практически исключено.
Каждая строительная конструкция (в том числе и плиты перекрытия) рассчитаны на определенные схемы монтажа. Эти схемы известны строителям, а нарушение их может привести к нежелательным для всех последствиям. Очень часто возникает необходимость сделать отверстие в панели перекрытия, и если при его формировании будет нарушена целостность арматурного каркаса панели или, что не менее важно, будут разрезаны арматурные стержни, обеспечивающие несущую способность этой панели, то положительный эффект «преднапряжения» будет практически полностью устранён. Подобная поврежденная панель не будет соответствовать шкале нормативно-допустимых нагрузок.
Если же сделать отверстие в панели все-таки надо, то необходимо предусмотреть консольное закрепление разрезаемых панелей на промежуточную опору (например, на внутреннюю несущую стену или на перемычку) и выполнить обвязку из металлического профиля по периметру вырезанной части плиты с закреплением (резьбовом или сваркой) на этом профиле концов арматурных стержней.
О доставке и промежуточном хранении ЖБИ
Уже упоминалось, что заводские железобетонные изделия имеют высокую степень надёжности и лишь от самих потребителей зависит, снизится ли эта надёжность в дальнейшем. ЖБИ, до того, как попадут в конструкцию и займут предназначенное им место, могут быть подвержены действию излишних механических нагрузок или оказаться в условиях повышенной влажности. Кроме того, бетон подвержен биологической коррозии (появлению плесени, грибка и пр.), что необходимо учитывать при его хранении.
Повреждения ЖБИ могут происходить как при их транспортировке (доставке), так и при их складировании (промежуточном хранении). Влага обычно попадает в изделия при контакте с землёй (капиллярный подсос) или атмосферными осадками, что может привести как к ухудшению механических характеристик ЖБИ, так и к развитию на нём корродирующей микрофлоры.
Наиболее распространённый вид повреждений – механические. Например, при транспортировке плит перекрытия (положенных, как это и следует, на деревянные бруски-прокладки) поверх них были поставлены бетонные блоки. В результате, изделия прибыли на объект деформированными: с раскрытием трещин шириной более 1 мм по нижней части, с отколами бетона и обнажённой арматурой. Если это произошло по вине поставщика, то подобные ЖБИ должны быть заменены. Но поставщики, как правило, соблюдают условия перевозки и подобных ситуаций практически не возникает.
Но когда железобетонные изделия поступают на место промежуточного складирования, когда за них уже уплачены деньги и ЖБИ приняты заказчиком, хозяин должен уже сам заботиться о принадлежащих ему железобетонных изделиях. Даже если ЖБИ приобретены с целью использования в течении недель или месяцев, для них необходимо обеспечить определенные «комфортные» условия хранения. Площадка для их складирования должна быть выровняна; между железобетонными изделиями и грунтом не должно быть контакта; желательно наличие навеса или укрывающей изделие плёнки. Плиты перекрытий желательно хранить горизонтально (в »рабочем положении»), прокладывая их между собой деревянными брусками для проветривания и для снятия возникающих напряжений.
О дефектах, явных и неявных
Иногда в приобретенную партию попадают ЖБИ с явными дефектами. Некоторые из этих дефектов легко устранимы и не могут повлиять на качество железобетонных изделий, некоторые – неустранимы и носят «летальный» характер. Иногда дефекты имеют фабричное происхождение, иногда они возникают при самовывозе ЖБИ в результате их некорректной транспортировки.
Если ЖБИ внешне не разрушено, а присутствуют лишь небольшие сколы, то они достаточно несложно устраняются путем их заделки цементно-песчаным раствором или специальными ремонтными смесями. Если же дефект серьёзен (смещение арматурного каркаса, неверная анкеровка закладных деталей и монтажных петель, тонкий защитный слой бетона), то подобные железобетонные изделия подлежат возврату производителю и последующей замене. Но, как правило, подобные дефектные ЖБИ выявляют на ещё стадии приемки техническим контролем и если они и выходят за пределы завода, то как некондиционные.
Некоторые заводские дефекты (например, сетка поверхностных тонких трещин на плите перекрытия) не носят «летального« характера и не влияют на надёжность и несущую способность ЖБИ. Подобные дефекты устраняют в процессе монтажа железобетонных изделий.
О свойствах и классах бетона
По плотности бетоны подразделяют на особо тяжёлые, тяжёлые (плотность D = 1800..2500 кг/м³ ), легкие и особо легкие. По размерам заполнителя тяжелые бетоны подразделяют на бетоны на крупных заполнителях и мелкозернистые бетоны. Плиты перекрытий, плиты дорожных покрытий, перемычки, элементы оград, подвалов и фундаментов, детали колодцев и столбы освещения изготавливают на основе тяжёлого бетона.
Классы бетона по прочности на сжатие (В), осевое растяжение (Вt ), растяжение при изгибе (Btb ) характеризуются соответствующей прочностью бетонов базового размера в установленном проектном возрасте (как правило – 28 суток).
Марка бетона по средней плотности (D) определяется фактическим показателем массы бетона в сухом состоянии в единице объёма образцов (кг/м³ ).
Марка бетона по морозостойкости (F) определяется количеством попеременных циклов замораживания и оттаивания в различных средах, которые выдерживают контрольные образцы без снижения прочности на сжатие более регламентируемой.
Марка бетона по водонепроницаемости (W) определяется величиной давления воды, при котором не наблюдается ее просачивания через контрольные образцы.
Нормируемые показатели качества бетона должны быть обеспечены подбором его состава, выполнением технологических режимов приготовления, уплотнения бетонных смесей, твердения бетонных изделий и контролироваться на производстве.
