Методы преобразования колебательного разряда конденсатора в апериодический

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №12. ИССЛЕДОВАНИЕ

АПЕРИОДИЧЕСКОГО И КОЛЕБАТЕЛЬНОГО

РАЗРЯДОВ КОНДЕНСАТОРА

Цель работы:

1. Исследование процесса разряда конденсатора на активное сопротивление. Определение влияния на разряд конденсатора значения активного сопротивления. Опытное определение величины емкости конденсатора по осциллограмме.

2. Исследование колебательного разряда конденсатора. Сравнение величин, полученных из опыта с расчетными.

3. Определение критического сопротивления.

Общие теоретические сведения

В электрических цепях различают установившиеся (стационарные) и неустановившиеся (нестационарные или переходные) процессы. Переходные процессы могут возникнуть в электрических цепях в результате включения или отключения этих цепей. Так например, при включении хуй цепи с конденсатором C и активным сопротивлением r0 на постоянное напряжение (положение переключателя П в положение 1 на рис.12.1) или разряде предварительно заряженного конденсатора С на активное сопротивление R (положение переключателя П в положение 2 на рис.12.1) в цепи возникают переходные процессы.

Рис.12.1. Электрическая схема заряда и разряда конденсатора на активную нагрузку.

В результате этих процессов конденсатор С постепенно заряжается или разряжается, т. е. заряд q и напряжение uC на его выводах с течением времени t постепенно возрастают или уменьшаются и по цепи протекает ток в соответствии с выражением:

. (12.1)

При разряде заряженного конденсатора на активное сопротивление R (положение переключателя П в положение 2 на рис.12.1) уравнение переходного процесса, составленное по второму закону Кирхгофа, запишется:

. (12.2)

Подставив значение тока из формулы (12.1) в уравнение (12.2), получим дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами, описывающее изменение напряжения на конденсаторе в процессе его разряда на активное сопротивление:

Таким образом, задача о нахождении напряжения на конденсаторе в переходном режиме в линейной электрической цепи с сосредоточенными параметрами сводится к решению линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Решение дифференциальное уравнения (12.3) известным из математики классическим методом имеет вид:

, (12.4)

где: — установившееся значение напряжения на конденсаторе при (частное решение дифференциального уравнения (12.3) с правой частью);

— свободная составляющая напряжения на конденсаторе (общее решение дифференциального уравнения (12.3) без правой части);

— корень характеристического уравнения RCp+1=0, полученного путем алгебраизации дифференциального уравнения (12.3) без правой части.

t = RC — постоянная времени цепи RC, измеряется в секундах и характеризует скорость уменьшения экспоненты;

С — емкость конденсатора, Ф;

R — величина активного сопротивления, Ом;

uС(0) — напряжение на конденсаторе в момент коммутации (t = 0),

— постоянная интегрирования, определяемая из начальных условий (НУ). Начальные условия переходного процесса – это значения напряжений на конденсаторах С и токов в индуктивностях L, которые согласно законам коммутации не могут изменяться скачком. Следовательно, для конденсатора НУ будут равны: t=0, uC=uC(0).

Рис.12.2. Переходный процесс при разряде конденсатора С на активное сопротивление R.

Изменение напряжения на конденсаторе в процессе его разряда на активное сопротивление R в соответствии с формулой (12.4) показано на рис.12.2.

Ток, протекающий через конденсатор, определим, применяя формулу (12.1):

. (12.5)

Знак «минус» в формуле (12.5) показывает, что ток идет в направлении, противоположном показанному на рис.12.1, т.е. в направлении, противоположном напряжению на конденсаторе. Это значит, что идет процесс разряда конденсатора и он теряет заряд.

Скорость уменьшения напряжения на конденсаторе определяется постоянной времени . Чем больше значения R и C, тем медленнее уменьшается напряжение. Зная напряжение на конденсаторе uC(0 при t=0 и uc(tp) через известный промежуток времени tp, можно при известном сопротивлении R определить емкость С конденсатора из соотношения:

. (12.6)

Преобразуем выражение (12.6):

. (12.7)

Логарифмируя выражение (12.7), получим

. (12.8)

. (12.9)

Значение и tР определяются в лабораторной работе по осциллограмме (рис. 12.2).

Рис.12.3. Электрическая схема заряда конденсатора и разряда его на активно-индуктивную нагрузку.

При разряде конденсатора С на активно-индуктивную нагрузку R, L (переключатель П на рис.12.3 находится в положении 2) уравнение переходного процесса, составленное по второму закону Кирхгофа, запишется:

Дифференцируя уравнение (12.10)и разделив все члены этого уравнения на L, получим:

(12.11)

Как видно, переходный процесс при разряде конденсатора на активно-индуктивную нагрузку описывается дифференциальным уравнением второго порядка, так как в схеме имеются два накопителя энергии: конденсатор и катушка индуктивности. Полное решение дифференциального уравнения (12.11) имеет вид:

. (12..12)

Здесь: — установившееся значение напряжения на конденсаторе при (частное решение дифференциального уравнения (12.11)); оно как и ранее равно нулю;

— свободная составляющая напряжения на конденсаторе (общее решение дифференциального уравнения (12.11));

А1 и А2 — постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий;

р1 и р2 – корни характеристического уравнения.

Характеристическое уравнение дифференциального уравнения (12.11) имеет вид:

. (12.13)

Корни характеристического уравнения (12.13) равны:

, (12.14)

. (12.15)

Здесь: — коэффициент затухания, с-1;

— резонансная угловая частота цепи, с-1.

Характер переходного процесса зависит от соотношения между и , т. е. от величин параметров R,L и C. Очевидно, что возможны три случая.

1. Если > 1/LC или r > , то р1 и р2 – отрицательные вещественные числа, причем и в этом случае процесс носит апериодический характер.

2. Предельный случай апериодического разряда возможен при соотношении:

r= = Rкр. (12.16)

Сопротивление Rкр называется критическим. В этом случае .

Для того чтобы зарядить конденсатор, необходимо включить его в цепь постоянного тока. На рис. 1 показана схема заряда конденсатора. Конденсатор С присоединен к зажимам генератора. При помощи ключа можно замкнуть или разомкнуть цепь. Рассмотрим подробно процесс заряда конденсатора.

Генератор обладает внутренним сопротивлением. При замыкании ключа конденсатор зарядится до напряжения между обкладками, равного э. д. с. генератора: Uс = Е. При этом обкладка, соединенная с положительным зажимом генератора, получает положительный заряд (+ q ), а вторая обкладка получает равный по величине отрицательный заряд ( -q ). Величина заряда q прямо пропорциональна емкости конденсатора С и напряжению на его обкладках: q = CUc

P ис. 1 . Схема заряда конденсатора

Для того чтобы обкладки конденсатора зарядились, необходимо, чтобы одна из них приобрела, а другая потеряла некоторое количество электронов. Перенос электронов от одной обкладки к другой совершается по внешней цепи электродвижущей силой генератора, а сам процесс перемещения зарядов по цепи есть не что иное, как электрический ток, называемый зарядным емкостным током I зар.

Зарядный ток в цени протекает обычно тысячные доли секунды до тех пор, пока напряжение на конденсаторе достигнет величины, равной э. д. с. генератора. График нарастания напряжения на обкладках конденсатора в процессе его заряда представлен на рис. 2,а, из которого видно, что напряжение Uc плавно увеличивается, сначала быстро, а затем все медленнее, пока не станет равным э. д. с. генератора Е. После этого напряжение на конденсаторе остается неизменным.

Рис. 2. Графики напряжения и тока при заряде конденсатора

Пока конденсатор заряжается, по цепи проходит зарядный ток. График зарядного тока показан на рис. 2,б. В начальный момент зарядный ток имеет наибольшую величину, потому что напряжение на конденсаторе еще равно нулю, и по закону Ома io зар = E/ R i , так как вся э. д. с. генератора приложена к сопротивлению R i.

По мере того как конденсатор заряжается, т. е. возрастает напряженно на нем, для зарядного тока уменьшается. Когда напряженно па конденсаторе уже имеется, падение напряжения на сопротивление будет равно разности между э. д. с. генератора и напряжением на конденсаторе, т. е. равно Е — U с. Поэтому i зар = (E-Uс)/R i

Отсюда видно, что с увеличением Uс уменьшается i зар и при Uс = E зарядный ток становится равным нулю.

Про закон Ома подробнее смотрите здесь: закон Ома для участка цепи

Продолжительность процесса заряда конденсатора зависит от двух величии:

1) от внутреннего сопротивления генератора R i ,

2) от емкости конденсатора С.

На рис. 2 показаны графики нарядных токов для конденсатора емкостью 10 мкф: кривая 1 соответствует процессу заряда от генератора с э. д. с. Е = 100 В и с внутренним сопротивлением R i = 10 Ом, кривая 2 соответствует процессу заряда от генератора с такой же э. д. с, но с меньшим внутренним сопротивлением: R i = 5 Ом.

Из сравнения этих кривых видно, что при меньшем внутреннем сопротивлении генератора сила нарядного тока в начальный момент больше, и поэтому процесс заряда происходит быстрее.

Рис. 2. Графики зарядных токов при разных сопротивлениях

На рис. 3 дается сравнение графиков зарядных токов при заряде от одного и того же генератора с э. д. с. Е = 100 В и внутренним сопротивлением R i = 10 ом двух конденсаторов разной емкости: 10 мкф (кривая 1) и 20 мкф (кривая 2).

Величина начального зарядного тока io зар = Е/ Ri = 100/10 = 10 А одинакова для обоих конденсаторов, по так как конденсатор большей емкости накапливает большее количество электричества, то зарядный его ток должен проходить дольше, и процесс заряда получается более длительным.

Рис. 3. Графики зарядных токов при разных емкостях

Отключим заряженный конденсатор от генератора и присоединим к его обкладкам сопротивление.

На обкладках конденсатора имеется напряжение U с, поэтому в замкнутой электрической цепи потечет ток, называемый разрядным емкостным током i разр.

Ток идет от положительной обкладки конденсатора через сопротивление к отрицательной обкладке. Это соответствует переходу избыточных электронов с отрицательной обкладки на положительную, где их недостает. Процесс рам ряда происходит до тех пор, пока потенциалы обеих обкладок не сравняются, т. е. разность потенциалов между ними станет равном нулю: Uc=0 .

На рис. 4, а показан график уменьшения напряжения на конденсаторе при разряде от величины Uc о =100 В до нуля, причем напряжение уменьшается сначала быстро, а затем медленнее.

На рис. 4,б показан график изменения разрядного тока. Сила разрядного тока зависит от величины сопротивления R и по закону Ома i разр = Uc / R

Рис. 4. Графики напряжения и токов при разряде конденсатора

В начальный момент, когда напряжение па обкладках конденсатора наибольшее, сила разрядного тока также наибольшая, а с уменьшением Uc в процессе разряда уменьшается и разрядный ток. При Uc=0 разрядный ток прекращается.

Продолжительность разряда зависит:

1) от емкости конденсатора С

2) от величины сопротивления R , на которое конденсатор разряжается.

Чем больше сопротивление R , тем медленнее будет происходить разряд. Это объясняется тем, что при большом сопротивлении сила разрядного тока невелика и величина заряда на обкладках конденсатора уменьшается медленно.

Это можно показать на графиках разрядного тока одного и того же конденсатора, имеющего емкость 10 мкф и заряженного до напряжения 100 В, при двух разных величинах сопротивления (рис. 5): кривая 1 — при R = 40 Ом, i оразр = Uc о/ R = 100/40 = 2,5 А и кривая 2 — при 20 Ом i оразр = 100/20 = 5 А.

Рис. 5. Графики разрядных токов при разных сопротивлениях

Разряд происходит медленнее также тогда, когда емкость конденсатора велика. Получается это потому, что при большей емкости на обкладках конденсатора имеется большее количество электричества (больший заряд) и для стекания заряда потребуется больший промежуток времени. Это наглядно показывают графики разрядных токов для двух конденсаторов раиной емкости, заряженных до одного и того же напряжения 100 В и разряжающихся на сопротивление R =40 Ом (рис. 6 : кривая 1 — для конденсатора емкостью 10 мкф и кривая 2 — для конденсатора емкостью 20 мкф).

Рис. 6. Графики разрядных токов при разных емкостях

Из рассмотренных процессов можно сделать вывод, что в цепи с конденсатором ток проходит только в моменты заряда и разряда, когда напряжение на обкладках меняется.

Объясняется это тем, что при изменении напряжения изменяется величина заряда на обкладках, а для этого требуется перемещение зарядов по цепи, т. е. по цепи должен проходить электрический ток. Заряженный конденсатор не пропускает постоянный ток, так как диэлектрик между его обкладками размыкает цепь.

В процессе заряда конденсатор накапливает энергию, получая ее от генератора. При разряде конденсатора вся энергия электрического поля переходит в тепловую энергию, т. е. идет на нагрев сопротивления, через которое разряжается конденсатор. Чем больше емкость конденсатора и напряжение на его обкладках, тем больше будет энергия электрического поля конденсатора. Величина энергии, которой обладает конденсатор емкостью С, заряженный до напряжения U, равна: W = W с = С U 2 /2

Пример. Конденсатор С=10 мкф заряжен до напряжении U в = 500 В. Определить энергию, которая выделится в вило тепла на сопротивлении, через которое разряжается конденсатор.

Решение. Пpи разряде вся энергия, запасенная конденсатором, перейдет в тепловую. Поэтому W = W с = С U 2 /2 = (10 х 10 -6 х 500)/2 = 1,25 дж.

Читайте также:

II. Газоразрядный индикатор
Аперіодичний розряд конденсатора
Архитектура 8-разрядных микроконтроллеров
Величина , однакова для всіх зарядів в даній точці поля, називається потенціалом поля.
ВОПРОС 3. ОРГАНИЗАЦИЯ ПОГРУЗКИ (ВЫГРУЗКИ) РАЗРЯДНЫХ ГРУЗОВ.
ВОПРОС 4. НОРМЫ ПРИКРЫТИЯ ПРИ ПОСТАНОВКЕ В ПОЕЗДА ВАГОНОВ С РАЗРЯДНЫМИ ГРУЗАМИ. ПРАВИЛА ПРОПУСКА ПОЕЗДОВ С РАЗРЯДНЫМИ ГРУЗАМИ.
Гранично-аперіодичний розряд конденсатора
Грозовой разряд
Електричне поле зарядженої площини. Двох площин, сфери, циліндра, кулі.
Електричний заряд
Закон сохранения электрического заряда

При переводе ключа в положение 1 (см. рис. 6) начинается процесс заряда конденсатора:

Принужденная составляющая напряжения на конденсаторе .

Из характеристического уравнения

определяется корень . Отсюда постоянная времени .

При t=0 напряжение на конденсаторе равно (в общем случае к моменту коммутации конденсатор может быть заряженным, т.е. ). Тогда и

Соответственно для зарядного тока можно записать

В зависимости от величины : 1 — ; 2 — ; 3 — ; 4 — — возможны четыре вида кривых переходного процесса, которые иллюстрирует рис. 7.

При разряде конденсатора на резистор (ключ на рис.6 переводится в положение 2) . Постоянная времени .

Тогда, принимая, что к моменту коммутации конденсатор был заряжен до напряжения (в частном случае ), для напряжения на нем в переходном режиме можно записать

Соответственно разрядный ток

Как видно из (8), во избежание значительных бросков разрядного тока величина должна быть достаточно большой.

В заключение отметим, что процессы заряда и разряда конденсатора используются в генераторах пилообразного напряжения, широко применяемых в автоматике. Для этого ключ в схеме на рис. 6 заменяется на электронный.

Литература

1. Основытеории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.

2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.

3. Теоретическиеосновы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.1. К.М.Поливанов. Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными. –М.: Энергия- 1972. –240с.

Контрольные вопросы

1. Составить характеристическое уравнение для цепи на рис. 1, используя выражение входного сопротивления относительно места разрыва ветви с резистором .

2. Может ли в одной части линейной цепи протекать колебательный переходный процесс, а в другой – апериодический?

3. Для чего в схеме на рис. 5 служит цепочка, состоящая из диода и резистора R?

4. Почему можно разрывать ветвь с конденсатором и нельзя – ветвь с индуктивным элементом?

5. Почему корни характеристического уравнения не зависят от того, относительно какой переменной было записано дифференциальное уравнение?

6. Для цепи на рис. 8 составить характеристическое уравнение и определить, при каких значениях переходный процесс в ней будет носить апериодический характер, если .

7. Определить в цепи на рис. 9, если , , , .

Теория / ТОЭ / Лекция N 26.Переходные процессы в цепи с одним накопителем
энергии и произвольным числом резисторов

Как отмечалось в предыдущей лекции, линейная цепь охвачена единым переходным процессом. Поэтому в рассматриваемых цепях с одним накопителем энергии (катушкой индуктивности или конденсатором) – цепях первого порядка – постоянная времени будет одной и той же для всех свободных составляющих напряжений и токов ветвей схемы, параметры которых входят в характеристическое уравнение.

Общий подход к расчету переходных процессов в таких цепях основан на применении теоремы об активном двухполюснике: ветвь, содержащую накопитель, выделяют из цепи, а оставшуюся часть схемы рассматривают как активный двухполюсник А (эквивалентный генератор) (см. рис.1, а) со схемой замещения на рис. 1,б.

Совершенно очевидно, что постоянная времени здесь для цепей с индуктивным элементом определяется, как:

и с емкостным, как:

где — входное сопротивление цепи по отношению к зажимам 1-2 подключения ветви, содержащей накопитель энергии.

Например, для напряжения на конденсаторе в цепи на рис. 2 можно записать

где в соответствии с вышесказанным

Переходные процессы при подключении последовательной
R-L-C-цепи к источнику напряжения

Рассмотрим два случая:

Согласно изложенной в предыдущей лекции методике расчета переходных процессов классическим методом для напряжения на конденсаторе в цепи на рис. 3 можно записать

Тогда для первого случая принужденная составляющая этого напряжения

Характеристическое уравнение цепи

решая которое, получаем

В зависимости от соотношения параметров цепи возможны три типа корней и соответственно три варианта выражения для свободной составляющей:

1. или , где — критическое сопротивление контура, меньше которого свободный процесс носит колебательный характер.

2. — предельный случай апериодического режима.

В этом случае и

3. — периодический (колебательный) характер переходного процесса.

В этом случае и

где — коэффициент затухания; — угловая частота собственных колебаний; — период собственных колебаний.

Для апериодического характера переходного процесса после подстановки (2) и (3) в соотношение (1) можно записать

Для нахождения постоянных интегрирования, учитывая, что в общем случае и в соответствии с первым законом коммутации , запишем для t=0 два уравнения:

решая которые, получим

Тогда ток в цепи

и напряжение на катушке индуктивности

На рис. 4 представлены качественные кривые , и , соответствующие апериодическому переходному процессу при .

Для критического режима на основании (2) и (4) можно записать

Для колебательного переходного процесса в соответствии с (2) и (5) имеем

Для нахождения постоянных интегрирования запишем

На рис. 5представлены качественные кривые и , соответствующие колебательному переходному процессу при .

При подключении R-L-C-цепи к источнику синусоидального напряжения для нахождения принужденных составляющих тока в цепи и напряжения на конденсаторе следует воспользоваться символическим методом расчета, в соответствии с которым

Здесь также возможны три режима:

1. ;

Наибольший интерес представляет третий режим, связанный с появлением во время переходного процесса собственных колебаний с частотой . При этом возможны, в зависимости от соотношения частот собственных колебаний и напряжения источника, три характерные варианта: 1 — ; 2 — ; 3 — , — которые представлены на рис. 6,а…6,в соответственно.

Литература

Контрольные вопросы

1. Как можно определить постоянную времени в цепи с одним накопителем энергии по осциллограмме тока или напряжения в какой-либо ветви?

2. Определить, какой процесс: заряд или разряд конденсатора в цепи на рис. 2 – будет происходить быстрее?

3. Влияет ли на постоянную времени цепи тип питающего устройства: источник напряжения или источник тока?

4. В цепи на рис. 2 , С=10 мкФ. Чему должна быть равна индуктивность L катушки, устанавливаемой на место конденсатора, чтобы постоянная времени не изменилась?

5. Как влияет на характер переходного процесса в R-L-C-контуре величина сопротивления R и почему?

6. Определить ток через катушку индуктивности в цепи на рис. 7, если ; ; ; ; .

7. Определить ток в ветви с конденсатором в цепи на рис. 8, если ; ; ; .

Теория / ТОЭ / Лекция N 27.Операторный метод расчета переходных процессов

Сущность операторного метода заключается в том, что функции вещественной переменной t, которую называют оригиналом, ставится в соответствие функция комплексной переменной , которую называют изображением.В результате этого производные и интегралы от оригиналов заменяются алгебраическими функциями от соответствующих изображений (дифференцирование заменяется умножением на оператор р, а интегрирование – делением на него), что в свою очередь определяет переход от системы интегро-дифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений относительно изображений искомых переменных. При решении этих уравнений находятся изображения и далее путем обратного перехода – оригиналы. Важнейшим моментом при этом в практическом плане является необходимость определения только независимых начальных условий, что существенно облегчает расчет переходных процессов в цепях высокого порядка по сравнению с классическим методом.

Изображение заданной функции определяется в соответствии с прямым преобразованием Лапласа:

В сокращенной записи соответствие между изображением и оригиналом обозначается, как:

Следует отметить, что если оригинал увеличивается с ростом t, то для сходимости интеграла (1) необходимо более быстрое убывание модуля . Функции, с которыми встречаются на практике при расчете переходных процессов, этому условию удовлетворяют.

В качестве примера в табл. 1 приведены изображения некоторых характерных функций, часто встречающихся при анализе нестационарных режимов.

Таблица 1. Изображения типовых функций

Оригинал	А
Изображение

\|	следующая лекция ==>
\|	Законы Кирхгофа в операторной форме

Дата добавления: 2014-01-05 ; Просмотров: 603 ; Нарушение авторских прав? ;

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет