Магнитное поле кольца с током

Читайте также:

1. Коротковолновое Электромагнитное излучение (поток фотонов Высоких
2. Магнитное взаимодействие движущихся электрических зарядов
3. Магнитное взаимодействие токов. Сила Лоренца.
4. Магнитное поле
5. Магнитное поле
6. Магнитное поле в вакууме и веществе
7. Магнитное поле в вакууме и веществе
8. Магнитное поле в веществе.
9. Магнитное поле и его основные характеристики.
10. Магнитное поле проводника с током и способы его усиления.
11. Магнитное поле токов

Магнитное поля прямолинейного проводника с током

Найдем вектор магнитной индукции в точке A, отстоящей от прямолинейного проводника с током на расстояние R. С этой целью воспользуемся законом Био–Савара–Лапласа (17.16). Для вычисления интеграла (17.16) выразим переменные r и dl через q.

Согласно рис. 17.4 имеем

; .

(17.18)

Рис. 17.4

Продифференцируем последнее равенство

(17.19)

С помощью (17.18) и (17.19) подынтегральное выражение в (17.16) можно преобразовать к виду

.

Подставим полученное выражение в формулу (17.16) и проинтегрируем в пределах от q₁ до q₂ (рис. 17.4).

(17.20)

Формула (17.20) применима для проводника единичной длины. Для бесконечно длинного проводника следует положить q₁ = 0, q₂ = p. Тогда из (17.20) следует

(17.21)

Пусть по проводнику в виде тонкого кольца радиуса a протекает ток I. Найдем вектор магнитной индукции в точке A, расположенной на оси кольца и отстоящей от его центра на расстоянии R (рис. 17.5).

Выделим на кольце элемент тока /> на две составляющие:

.

Перпендикулярная составляющая не дает никакого вклада в общую индукцию в точке A, поскольку на кольце всегда найдется симметрично расположенный элемент тока Idl, который дает

противоположно направленную составляющую .

Рис. 17.5

Из рис. 17.5 видно, что

.

Так как , то sin q = 1, следовательно,

;

.

Интегрируя по всему контуру, получаем:

,

,

где S – площадь, охваченная круговым током.

Произведение силы тока I на площадь, ограниченную круговым током, называется магнитным моментом кругового тока (витка):

,

(17.22)

Рис. 17.6

где – единичный вектор, перпендикулярный к плоскости витка с током. Направление находится по правилу правого винта (рис. 17.6).

Таким образом, модуль вектора магнитной индукции на оси кругового тока

.

(17.23)

При R>>a из (17.23) следует

.

(17.24)

Сопоставляя (17.24) и (11.9), приходим к выводу, что круговой виток с током создает магнитное поле, которое, как и электрическое поле диполя, на больших расстояниях убывает как 1/R 3 .

В центре кругового витка (R=0) из формулы (17.23) получаем

.

Поскольку p_m=IS=Ipa 2 , то

.

(17.25)

Лекція 27.

17.6. Циркуляция вектора

В электростатике было показано, что циркуляция вектора напряженности электростатического поля равна нулю (см. § 11.6). Этот результат свидетельствует о потенциальном характере электростатического поля.

Рис. 17.7

Выясним теперь, сему равна циркуляция вектора магнитной индукции . Рассмотрим простейший случай, когда магнитное поле создаётся бесконечным прямолинейным проводником, а контур интегрирования совпадает с линией индукции. Тогда выражение для циркуляции вектора сучётом(17.21) будет иметь вид

.

(17.26)

Подставляя в (17.26) значение из (17.21) и учитывая, что , получаем

.

(17.27)

Выражение (17.27) можно обобщить на случай, когда контур имеет произвольную форму и охватывает несколько проводников с током:

.

(17.28)

Знак "+" в формуле (17.28) выбираем в том случае, если направление тока и направление обхода удовлетворяют правилу левого винта, и "–" – в противном случае.

Как видно из (17.28), циркуляция вектора магнитной индукции отлична от нуля. Это означает, что магнитное поле имеет непотенциальный характер – для него нельзя ввести понятие потенциала. Магнитное поле является вихревым.

Если учесть, что B= m₀ mH, то из (17.28) можно получить выражение для циркуляции вектора напряженности магнитного поля:

.

(17.29)

Последнюю формулу называют иногда законом полного тока.

Формулы (17.28) и (17.29) применяют для расчета магнитных полей. В некоторых случаях такой расчет значительно проще, чем основанный на законе Био–Савара–Лапласа.

Дата добавления: 2015-06-04 ; Просмотров: 1474 ; Нарушение авторских прав? ;

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Среди действий эл.тока есть магнитное (см 10 вопрос). Оно проявляется в том, что между проводниками с током возникают силы взаимодействия, которые назвали магнитными. Для изучения магнитного действия тока воспользуемся магнитной стрелкой (два полюса и ось, которая их соединяет).

Опыт — расположим проводник, включенный в цепь источника тока, над магнитной стрелкой, параллельно ее оси. При замыкании цепи стрелка отклоняется от первоначального положения. При размыкании – возвращается обратно. Опыт показывает существование вокруг проводника магнитного поля, которое и взаимодействует со стрелкой. Таким образом магнитное поле существует вокруг любого проводника с током, т.е. вокруг движущихся эл.зарядов. Вокруг неподвижных эл.зарядов существует только электростатическое поле, вокруг движущихся – и электрическое, и магнитное.

Существование магн.поля можно определить железными опилками (опыт – проводник с током через лист картона с опилками).

Согласно гипотезе Ампера магнитные свойства любого тела определяются замкнутыми эл.токами внутри него. Внутри молекул циркулируют элементарные эл.токи. Если токи расположены хаотично, то компенсируют друг друга и у тела нет магнитных свойств. В намагниченном состоянии эти токи ориентированы строго определенным образом и их действия складываются.

Т.о. магнитные взаимодействия обусловлены движением эл.зарядов – током. Ток создает магнитное поле. Взаимодействие токов можно наблюдать на опыте – два гибких проводника, источник тока. Если верхние концы проводников соединены так, что ток в каждом противоположного направления – проводники отталкиваются. Если ток одного направления – притягиваются. Если ток идет только по одному проводнику – взаимодействия нет.

Следовательно, в пространстве, окружающем эл.заряды, возникает эл.поле, так и в пространстве, окружающем проводники с током, возникает магнитное поле.

Магнитное поле – особая форма материи, посредством которой осуществляется взаимодействие между движущимися заряженными частицами. Оно материально, существует независимо от нас и наших знаний, и обладает определенными свойствами.

Свойства магнитного поля – порождается током (движущимися зарядами), и обнаруживается по действию на ток (движ.заряды). Для описания взаимодействия токов, требуются ввести несколько величин. Исследования проводятся с помощью контура с током малых (по сравнению с расстояниями, на которых магнитное поле заметно изменяется) размеров. Опыт – подвесим рамку с током между полюсами магнита. Рамка будет поворачиваться до тех пор, пока ее плоскость не станет перпендикулярной к линии, соединяющей полюса магнита. Аналогично ведет себя и магнитная стрелка. Следовательно, величина, характеризующая магнитное поле, должна быть векторной.

Вектор магнитной индукции – векторная величина, характеризующая магнитное поле. Всегда перпендикулярен току в проводнике.

Если вращать рукоятку буравчика с правой нарезкой по направлению тока в рамке, направление совпадет с перпендикуляром к плоскости рамки в сторону поступательного движения буравчика (Если направление поступательного движения буравчика совпадает с направлением тока в проводнике, то направление вращения ручки буравчика совпадает с направлением ). Для соленоида — если обхватить соленоид ладонью правой руки так, чтобы четыре пальца были направлены вдоль тока в витках, то отставленный большой палец покажет направление внутри соленоида.

Линии магнитной индукции— линии, касательные к которым направлены так же, как и вектор в данной точке пространства.

Как и в случае линий напряженности электрического поля, считаем, что густота линий характеризует в данном месте. Они всегда замкнуты, что означает равенство нулю потока магнитной индукции через замкнутую поверхность. Это свойство магнитного поля связано с отсутствием магнитных зарядов.

в магнитном поле прямого проводника с током магнитная стрелка устанавливается по касательной к окружности. Плоскость окружности перпендикулярна проводу, ее центр лежит на оси провода. Направление устанавливают по правилу буравчика. Буравчик должен двигаться в направлении тока. Концы его рукоятки будут перемещаться в направлении, принятом за направление . Линии магнитного поля представляют собой концентрические окружности, которые сгущаются к центру. Следовательно, магнитная индукция вблизи проводника больше, чем вдали.

Магнитное поле кольца с током

Магнитное поле катушки с током — если катушку подвесить на тонких проводниках, она установится так же, как и магнитная стрелка. Т.о. у катушки есть два полюса – северный и южный. Если длина катушки много больше его диаметра, то поле внутри катушки считаем однородным. Внутри катушки линии поля параллельны, их густота везде одинакова. Вне катушки они направлены от северного пояса к южному. Катушки с током используют в качестве магнитов. Они удобны тем, что магнитное действие можно изменять в широких пределах (магнитное действие тем сильнее, чем больше количество витков или больше сила тока). Железо, введенное внутрь катушки, усиливает магнитное действие катушки.

Катушка с железным сердечником внутри – электромагнит. Они могут быть разных размеров, их магнитное действие можно регулировать, они очень быстро размагничиваются при выключении тока. Используются – переноска тяжелых изделий, сепаратор для зерна (мелкие железные опилки прилипают к зернам сорняков, зерна высыпают на барабан, внутри которого электромагнит. Притягивая мелкие опилки, он извлекает зерна сорняков и другой мусор из общего зерна)

Если в катушку с током вставить стержень из закаленной стали, то он длительное время сохраняет намагниченность (вызванную движением электронов) после выключения тока.

Линии магнитной индукции можно сделать видимыми с помощью железных опилок.

Для магнитного поля, как и для электрического, справедлив принцип суперпозиции. Если в данной точке пространства различные токи создают магнитные поля, магнитные индукции которых В₁, В₂, В₃ и т.д., то результирующая магнитная индукция в этой точке равна

Модуль магнитной индукции определяется по формуле

, где М_тах – максимальный момент сил, действующих на рамку, I – сила тока в ней, S – площадь рамки.

Магнитный поток. Вектор магнитной индукции характеризует поле в каждой точке пространства. Введем величину, которая характеризует поле во всех точках произвольно выбранной поверхности. Эту величину называют магнитным потоком. Она аналогична вектору электрической напряженности. Выделим в магнитном поле кусочек площадью ΔS, чтобы магнитную индукцию во всех его точках можно считать одинаковой. Пусть — нормаль к элементу, образующая угол α с направлением вектора .

Потоком вектора магнитной индукции через поверхность площадью ΔS называют величину, равную произведению модуля вектора магнитной индукции на площадь ΔS и косинус угла α между векторами и

Поток может быть как «+», так и «-», в зависимости от значения угла. Поток магнитной индукции показывает, какое количество линий пронизывает данную площадку.

Вокруг Земли тоже есть магнитное поле, так как стрелка компаса устанавливается в определенном направлении вдоль его магнитных линий. Около Северного географического полюса магнитные линии отклоняются и вертикально входят в землю ( это Южный магнитный полюс, удаленный от Сев.географ. на 2100км ) . Северный магнитный полюс находится около Южного географического, здесь магнитные линии выходят из земли.

Оно оказывает существенное влияние на поток заряженных частиц из космоса. Это третий защитный пояс вместе с атмосферой и ионосферой. Действуя на заряженную частицу, оно изменяет ее траекторию. Вместо прямой линии получается спираль, навивающаяся на линии индукции поля. Кроме того, поле удерживает на большой высоте заряженные частицы небольших энергий. Эти частицы окружают земной шар и называются радиационными поясами.

Магнитное поле земли меняют магнитные бури из-за солнечной активности и выброса с его поверхности огромного числа заряженных частиц.

Есть на Земле магнитные аномалии — области, где магнитные стрелки всегда отклонены от магнитных линий Земли. Причина – огромные залежи железной руды – Курская аномалия.

Существование магнитного поля Земли не объяснено до конца. Считается, что его причина – электрические токи в атмосфере и в земной коре. У планет Солнечной системы также есть магнитные поля.

Постоянные магниты — тела, длительное время сохраняющие намагниченность. Те места магнита, где обнаруживаются наиболее сильные магнитные действия – полюса магнита (северный и южный). Не все материалы одинаково хорошо притягиваются магнитом. Чугун, сталь, железо – хорошо, никель и кобальт – плохо.

В природе встречаются естественные магниты – железная руда. Его наличие позволило лучше изучить магнитные свойства тел:

— две магнитные стрелки рядом повернутся друг к другу противоположными полюсами, одноименные полюса отталкиваются,

— аналогично – стрелка и магнит,

Так как вокруг любого магнита есть магнитное поле, установим с помощью опилок, как оно выглядит у дугообразного и полосового магнита (рис). Магнитные линии замкнуты, выходят из северного и входят в южный полюс, замыкаясь внутри магнита.

Последнее изменение этой страницы: 2016-08-06; Нарушение авторского права страницы

Французские ученые Ж. Био и Ф. Савар изучали магнитные поля, создаваемые постоянными токами разной формы. Результаты их работы обобщил известный математик и физик П. Лаплас.

Применение закона Био – Савара – Лапласа к вычислению магнитного поля кругового тока

Закон Био-Савара–Лапласа описывает порождение магнитного поля током $I$ на элементе проводника длиной $dl$ в некоторой точке пространства ($mu$ — магнитная проницаемость вещества в котором локализовано поле):

где $d vec l ⃗$ — вектор, длина которого равна длине элемента проводника $dl$, направленный по току; $vec r$ – радиус-вектор, который проведен от элемента $dl$ в точку, в которой исследуется магнитное поле. Поскольку в правой части формулы (1) находится векторное произведение, очевидно, что индукция элементарного магнитного поля будет направлена перпендикулярно плоскости, в которой находятся векторы $vec r$ и $vec l$ и при этом является касательной к силовой линии поля.

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Величину вектора $vec$ из выражения (1) найдем как:

где $ alpha $– угол между векторами $vec r$ и $vec l$ .

Конкретное направление $vec$ находят по правилу буравчика (правилу правой руки):

Если правый винт вращать так, что его поступательное движение будет совпадать с направлением течения тока в избранном элементе, то вращение его головки укажет направление $vec$.

Магнитные поля подчиняются принципу суперпозиции:

Суммарную магнитную индукцию поля, создаваемого несколькими источниками, находят как геометрическую сумму векторов магнитной индукции отдельных полей:

$vec=sumlimits_^N vec_ left( 3
ight). $

Если распределение токов можно считать непрерывным, то принцип суперпозиции можно записать:

Вычисление магнитной индукции поля с применением закона Био-Савара-Лапласа довольно сложная процедура. Но при существовании определенной симметрии в распределении токов, используя, рассмотренный нами закон и принцип суперпозиции, рассчитать конкретные поля просто. В любом случае следует придерживаться следующей схемы действий:

Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!

1. Выделить на проводнике с током элементарный отрезок $dl$.
2. Записать для исследуемой точки поля закон Био – Савара – Лапласа.
3. Определить направление элементарного поля $vec$ в избранной точке.
4. Воспользоваться принципом суперпозиции для магнитных полей (учесть, что суммируются векторы).

Магнитное поле кругового тока в его центре

Рисунок 1. Магнитное поле кругового тока в его центре. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рассмотрим круговой проводник, по которому течет постоянный ток $I$ (рис.1). Выделим на этом проводнике элемент $dl$, который можно считать прямолинейным. Если перейти к другому элементу этого же тока, затем к третьему и так далее, применить правило правого винта, то очевидно, что все магнитные поля, созданные этими элементами в центре, направлены вдоль одной прямой, перпендикуляру к плоскости кольца. Это означает, применяя принцип суперпозиции, мы векторное сложение заменим алгебраическим.

Запишем закон Био-Савара-Лапласа для модуля вектора индукции поля, создаваемого элементом d$l_1$:

Из рис.1 мы видим:

1. что расстояние от элементарного тока до центра витка равно его радиусу ($R$) и будет одинаковым для всех элементов на этом витке,
2. элемент $dl$ (как и все остальные элементы) будут нормальны к радиус-вектору $vec r$.

Учитывая сказанное выражение (5) представим в виде:

Обезличивая витки с током, положим далее $dl_1=dl$.

Поскольку наш ток является непрерывным, то для нахождения полного поля в его центре, мы проинтегрируем (6), имеем:

$L=2πR$ — длина окружности витка.

Индукция магнитного поля кругового тока на его оси

Найдем индукцию магнитного поля на оси кругового тока, если ток, текущий по нему равен $I$, радиус витка — $R$ (рис.2).

Рисунок 2. Индукция магнитного поля кругового тока на его оси. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Как основу для выполнения поставленной задачи возьмем закон Био-Савара-Лапласа (1), где из рис.2 мы видим, что:

$dvec imes vec=dvec imes vec+dvec imes vec(9).$

Используя принцип суперпозиции закон (1) для нашего тока и формулы (8-9) запишем:

В выражении (10) при записи интеграла, мы учли, что величина вектора $vec$ не изменяется. Кроме этого вектор $vec h$, определяющий положение точки, в которой мы ищем поле, не изменяется при движении по нашему контуру, поэтому:

$ointlimits_L imes vec> =(ointlimits_L ) imesvec> =0, left( 11
ight),$

так как ( $ointlimits_L )=0.>$

Вычислим интеграл: $ointlimits_L imes vec.>$ Введем единичный вектор ($vec n$), нормальный к плоскости витка с током.

$ointlimits_L imes vec=ointlimits_L <vecRdl=vecR>> ointlimits_L R> 2pi R=2pi R^<2>vecleft( 12
ight)$.

Подставляем результаты интегрирования из (12) в (10), имеем:

где при записи окончательного результата мы учли, что:

Кольца Гельмгольца

Кольцами Гельмгольца считают пару проводников в виде колец одного радиуса, расположенных в параллельных плоскостях (рис.3) на одной оси. Расстояние между плоскостями колец равно их радиусу.

Рисунок 3. Кольца Гельмгольца. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рассмотрим магнитное поле на оси этих колец.

Декартову систему координат разместим так, что ее начало совпадает с центром нижнего кольца с током. Ось Z нашей системы будет направлена по оси колец (рис.3).

Запишем индукцию магнитного поля в точке с координатой $z$ на оси колец. Используем формулу (13):

Исследуем полученное поле. Считается, что магнитное поле на оси колец Гельмгольца на посередине между ними является однородным.

Неоднородность в первом приближении характеризуют первой производной:

Если $z=frac<2>quad$ , подставим в (15), имеем:

По условию для колец Гельмгольца, имеем: $d=R.$

На середине их общей оси ($z=frac<2>)$, получаем:

Равенство нулю второй производной от $B_z$ по координате $z$, показывает, что в на середине оси колец магнитное поле является однородным с высокой степенью точности.

Так и не нашли ответ
на свой вопрос?

Просто напиши с чем тебе
нужна помощь