Магнитное поле линейного тока

Вычислим поле, создаваемое током, текущим по тонкому прямолинейному проводу бесконечной длины.

Индукция магнитного поля в произвольной точке А (рис. 6.12), создаваемого элементом проводника dl, будет равна

Рис. 6.12. Магнитное поле прямолинейного проводника

Поля от различных элементов имеют одинаковое направление (по касательной к окружности радиусом R, лежащей в плоскости, ортогональной проводнику). Значит, мы можем складывать (интегрировать) абсолютные величины

Выразим r и sin через переменную интегрирования l

Тогда (6.7) переписывается в виде

Картина силовых линий магнитного поля бесконечно длинного прямолинейного проводника с током представлена на рис. 6.13.

Рис. 6.13. Магнитные силовые линии поля прямолинейного проводника с током:
1 — вид сбоку; 2, 3 — сечение проводника плоскостью, перпендикулярной проводнику

Для обозначения направления тока в проводнике, перпендикулярном плоскости рисунка, будем использовать следующие обозначения (рис. 6.14):

Рис. 6.14. Обозначения направления тока в проводнике

Напомним выражение для напряженности электрического поля тонкой нити, заряженной с линейной плотностью заряда

Сходство выражений очевидно: мы имеем ту же зависимость от расстояния до нити (тока), линейная плотность заряда заменилась на силу тока. Но направления полей различны. Для нити электрическое поле направлено по радиусам. Силовые линии магнитного поля бесконечного прямолинейного проводника с током образуют систему концентрических окружностей, охватывающих проводник. Направления силовых линий образуют с направлением тока правовинтовую систему.

На рис. 6.15 представлен опыт по исследованию распределения силовых линий магнитного поля вокруг прямолинейного проводника с током. Толстый медный проводник пропущен через отверстия в прозрачной пластинке, на которую насыпаны железные опилки. После включения постоянного тока силой 25 А и постукивания по пластинке опилки образуют цепочки, повторяющие форму силовых линий магнитного поля.

Вокруг прямого провода, перпендикулярного пластинке, наблюдаются кольцевые силовые линии, расположенные наиболее густо вблизи провода. При удалении от него поле убывает.

Рис. 6.15. Визуализация силовых линий магнитного поля вокруг прямолинейного проводника

На рис. 6.16 представлены опыты по исследованию распределения силовых линий магнитного поля вокруг проводов, пересекающих картонную пластинку. Железные опилки, насыпанные на пластинку, выстраиваются вдоль силовых линий магнитного поля.

Рис. 6.16. Распределение силовых линий магнитного поля
вблизи пересечения с пластинкой одного, двух и нескольких проводов

Магнитное поле проводника с током определяется силой и направлением тока, а также формой этого проводника.

Магнитные поля прямолинейных проводников с токами противоположных направлений схематически изображены на рис. 22.5. Как видно, эти поля отличаются только направлением линий индукции. Магнитное поле прямолинейного тока имеет вид

концентрических окружностей, расположенных в плоскостях, перпендикулярных к проводнику. Направление линий индукции магнитного поля тока определяется правилом правого винта: если поступательное движение винта происходит по направлению тока в проводнике, то направление вращения головки чинта показывает направление линий индукции магнитного поля.

Магнитное поле кругового тока показано на рис. 22.6. Направление линий индукции магнитного поля видно по положению магнитной стрелки. Оно определяется с помощью правила правого винта.

Заметим, что правило правого винта для кругового, тока можно использовать и по-другому: если вращать головку винта по направлению тока в контуре, то поступательное движение винта укажет направление линий индукции внутри контура.

Магнитное поле соленоида, представляющего собой катушку с током, показано на рис. 22.7, где видно, что внутри соленоида линии индукции параллельны и огибают его с наружной стороны. Направление линий индукции магнитного поля соленоида можно определить по правилу правого винта, как и для кругового тока.

Выясним характер магнитного поля, создаваемого произвольным тонким проводом, по которому течет ток. Рассмотрим малый элемент провода длины dl. В этом элементе содержится nS dl носителей тока (n — число носителей в единице объема, S — площадь попе- речного сечения провода в том месте, где взят элемент dl). В точке положение которой относительно элемента dl определяется радиусом-вектором г (отдельный носитель тока е создает поле с индукцией .

Здесь v — скорость хаотического движения, а u — скорость упорядоченного движения носителя.

Значение магнитной индукции, усредненное по носителям тока, заключенным в элементе dl, равно =

( =0). Умножив это выражение на число носителей в элементе провода (равное nS dl), получим вклад в поле, вносимый элементом dl: (мы внесли скалярные множители n и е

под знак векторного произведения). Приняв во внимание, что ne=j, можно получить .

Введем вектор , направленный по оси элемента тока длиной в сторону, в которую течет ток. Модуль этого вектора равен dl. Поскольку направления векторов j и dl совпадают, имеет место равенство

Произведя такую замену в формуле для dB, получим

Учли, что произведение Sj дает силу тока I в проводе, придем к окончательному выражению, определяющему магнитную индукцию поля, создаваемого элементом тока длины dl:

Мы вывели формулу. В действительности последняя формула была установлена экспериментально.

Био и Савар провели в 1820 г. исследование магнитных полей, текущих по тонким проводам различной формы. Лаплас проанализировал экспериментальные данные, полученные Био и Саваром, и нашел, что магнитное поле любого тока может быть вычислено как векторная сумма (суперпозиция) полей, создаваемых отдельным, элементарными участками токов.

Для магнитной индукции поля, создаваемого элементом тока длины dl, Лаплас получил формулу , которая носит название закона Био — Савара — Лапласа или более кратко закона Б и о — Савара.

Из рис. 42.1видно, что вектор dB направлен перпендикулярно к плоскости, проходящей через dl и точку, в которой вычисляется поле, причем так, что вращение вокруг dl в направлении dB связано с dl правилом правого винта. Модуль dB определяется выражением

где α— угол между векторами dl и г. Применим формулу закона Б-С-Л для вычисления поля прямого тока, т. е. поля, создаваемого током, текущим по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 42.2 Сав 122). Все векторы dB в данной точке имеют одинаковое направление (в нашем случае за чертеж).

Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей. Точка, для которой мы вычисляем магнитную индукцию, находится на расстоянии b от провода.

Из рис. 42.2 видно, что Подставим эти значения в формулу

Угол α для всех элементов бесконечного прямого тока изменяется от 0 до π. Следовательно, магнитная индукция поля прямого тока определяется формулой

Линии магнитной индукции поля прямого тока представляют собой систему охватывающих провод концентрических окружностей

(рис. 42.3 Сав 122).

16. Магнитное поле кругового контура с током

Рассмотрим поле, создаваемое током, текущим по тонкому проводу, имеющему форму окружности радиуса R (круговой ток). Определим магнитную индукцию в центре кругового тока (рис. 47.1 Сав. 138).

Каждый элемент тока создает в центре индукцию, направленную вдоль положительной нормали к контуру. Поэтому векторное сложение dВ сводится к сложению их модулей.

По формуле (α=π/2). Проинтегрируем это выражение по всему контуру:

Выражение в скобках равно модулю дипольного магнитного момента p_m. Следовательно, магнитная индукция в центре кругового тока имеет величину

Из рис. 47.1 видно, что направление вектора В совпадает с направлением положительной нормали к контуру, т. е. с направлением вектора p_m. Поэтому последнюю формулу можно написать в векторном виде:

Теперь найдем В на оси кругового тока на расстоянии г от центра контура (рис. 47.2 Сав.138). Векторы dB перпендикулярны к плоскостям, проходящим через соответствующий элемент dl и точку, в которой мы ищем поле. Следовательно, они образуют симметричный конический веер (рис. 47.2, б, Cfd 138). Из соображений симметрии можно заключить, что результирующий вектор Внаправлен вдоль оси контура.

Каждый из составляющих векторов dB вносит в результирующие вектор вклад , равный по модулю . Угол α между dl и b прямой, поэтому

Проинтегрировав по всему контуру и заменив b на получим

.Эта формула определяет величину магнитной индукции на оси кругового тока.

Приняв во внимание, что векторы В и p_m имеют одинаковое направление, можно написать последнюю формулу в векторном виде: .

Это выражение не зависит от знака г. Следовательно, в точках оси, симметричных относительно центра тока, В имеет одинаковую величину и направление. При г=0 формула переходит, как и должно быть , в формулу для магнитной индукции в центре кругового тока. На больших расстояниях от контура в знаменателе можно пренебречь R 2 по сравнению с г 2 . Тогда формула принимает вид .

17. Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции, ее применение для расчета магнитного поля в бесконечном соленоиде.

Отсутствие в природе магнитных зарядов приводит к тому, что линии вектора В не имеют ни начала, ни конца. Поэтому поток вектора В через замкнутую поверхность должен быть равен нулю. Таким образом, для любого магнитного поля и произвольной замкнутой поверхности S имеет место условие . Эта формула выражает теорему Гаусса для вектора В :поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю.

Заменив поверхностный интеграл объемным, получим, что .

Условие, к которому мы пришли, должно выполняться для любого произвольно выбранного объема V. Это возможно лишь в том случае, если подынтегральная функция в каждой точке поля равна нулю. Таким образом, магнитное поле обладает тем свойством, что

его дивергенция всюду равна нулю: .

Найдем циркуляции вектора В. По определению циркуляция равна интегралу .

Проще всего вычислить этот интеграл в случае поля прямого тока. Пусть замкнутый контур лежит в плоскости, перпендикулярной к току (рис. ; ток перпендикулярен к плоскости чертежа и направлен за чертеж). В каждой точке контура вектор В направлен по касательной к окружности, проходящей через эту точку. Заменим в выражении для циркуляции В dl через В dl_B (dl_B — проекция элемента контура на направление вектора В).

Из рисунка видно, что dl_B равно b dα, где b — расстояние от провода с током до dl, dα — угол, на который поворачивается радиальная прямая при перемещении вдоль контура на отрезок dl. Таким образом, для В, получим

Окончательно будем иметь

При обходе по контуру, охватывающему ток, радиальная прямая все время поворачивается в одном направлении, поэтому .

Иначе обстоит дело, если ток не охватывается контуром (рис. 49.1 ,б). В этом случае при обходе по контуру радиальная прямая поворачивается сначала в одном направлении (участок 1—2), а затем в противоположном (участок 2—1), вследствие чего равен нулю. Учтя этот результат, можно написать , где под I следует подразумевать ток, охватываемый контуром. Если контур тока не охватывает, циркуляция вектора В равна нулю. Знак в выражении зависит от направления обхода по контуру (в этом же направлении отсчитывается угол α).

Если направление обхода образует с направлением тока правовинтовую систему, величина положительна, в противном случае — отрицательна. Знак можно учесть, полагая I алгебраической величиной, причем положительным нужно считать ток, направление которого связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта; ток противоположного направления будет отрицательным Поле соленоида

Соленоид представляет собой провод, навитый на круглый цилиндрический каркас. Линии В поля соленоида выглядят пример но так, как показано на рис. 50.1.

Внутри соленоида направление этих линий образует с направлением тока в витках правовинтовую систему. У реального соленоида имеется составляющая тока вдоль оси. Кроме того, линейная плотность тока j_лин (равная отношению силы тока dI к элементу длины соленоида dl) изменяется периодически при перемещении вдоль соленоида. Среднее значение этой плотности равно , где n— число витков соленоида, приходящееся на единицу его длины I — сила тока в соленоиде.

В соответствии со сказанным представим соленоид в виде бесконечного тонкостенного цилиндра (отсутствует осевая составляющая тока и, кроме того, линейная плотность тока j_лин постоянна по всей длине), обтекаемого током постоянной линейной плотности j_лин=nI.

Разобьем цилиндр на одинаковые круговые токи—«витки». Из.рис. видно, что каждая пара витков, расположенных симметрично относительно некоторой плоскости, перпендикулярной к оси соленоида, создает в любой точке этой плоскости магнитную индукцию, параллельную оси. Следовательно, и результирующее поле в любой точке внутри и вне бесконечного соленоида может иметь лишь направление, параллельное оси. Из рис. 50.1 вытекает, что направления поля внутри и вне конечного соленоида противоположны. При увеличении длины соленоида направления полей не изменяются и в пределе при противоположными. Для бесконечного соленоида, как и для конечного, направление поля внутри соленоида образует с направлением обтекания цилиндра током правовинтовую систему. Из параллельности вектора В оси вытекает, что поле как внутри, так и вне бесконечного соленоида должно быть однородным. Чтобы доказать это, возьмем внутри соленоида воображаемый прямоугольный контур 1—2—3—4 (рис. 50.3; участок 4—1 идет по оси соленоида). Обойдя контур по часовой стрелке, получим для циркуляции вектора В значение (B₂ –B₁)α. Контур не охватывает токов, поэтому циркуляция должна быть равна нулю.

Отсюда следует, что B₁=B₂. Располагая участок контура 2—3 на любом расстоянии от оси, мы каждый раз будем получать, что магнитная индукция В2 на этом расстоянии равна индукции B₁ на оси соленоида. Таким образом, однородность поля внутри соленоида доказана. Теперь обратимся к контуру 1’—2’—3’—4′. Мы изобразили векторы B`₁и В`₂ штриховой линией, поскольку, поле вне бесконечного соленоида равно нулю. Контур 1’—2’—3’—4’не охватывает токов; поэтому циркуляция вектора В’ по этому контуру, равная (B`₁-В`₂ )α, должна быть равна нулю.

Отсюда вытекает, что B`₁= В`₂ . Расстояния от оси соленоида до участков /’ — 4′ и 2′ — 3′ были взяты произвольно. Следовательно, значение В’ на любом расстоянии от оси будет вне соленоида одно и то же. Таким образом, оказывается доказанной и однородность поля вне соленоида.

Циркуляция по контуру, изображенному на рис. 50.4 (Сав. 150), равна α(В+В’) (для обхода по часовой стрелке). Этот контур охватывает положительный ток величины j_лин α.

Должно выполняться равенство (после сокращения на α и замены). Из этого равенства следует, что поле как внутри, так и снаружи бесконечного соленоида является конечным. Возьмем плоскость, перпендикулярную к оси соленоида (рис. 50.5 Сав 151). Вследствие замкнутости линий В магнитные потоки через внутреннюю часть S этой плоскости и через внешнюю часть S’ должны быть одинаковыми. Поскольку поля однородны и перпендикулярны к плоскости, каждый из потоков равен произведению соответствующего значения магнитной индукции и площади, пронизываемой потоком. Таким образом, получается соотношение BS=B’S’. Левая часть этого равенства конечна, множитель S’ в правой части бесконечно большой. Отсюда следует, что В’=0.

Итак, мы доказали, что вне бесконечно длинного соленоида магнитная индукция равна нулю. Внутри соленоида поле однородно.

Положив В’=0, придем к формуле для магнитной индукции внутри соленоида: . Произведение nI называется числом ампер-витков на метр. При n = 1000 витков на метр и силе тока в 1 А магнитная индукция внутри соленоида составляет 4π10 -4 Тл (Тесла) =4π Гс (Гаусса).

В магнитную индукцию на оси соленоида симметрично расположенные витки вносят одинаковый вклад. Поэтому у конца полубесконечного соленоида на его оси магнитная индукция равна половине значения : .

Практически, если длина соленоида значительно больше, чем его диаметр, формула будет справедлива для точек в средней части соленоида, а формула — для точек на оси вблизи его концов.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: При сдаче лабораторной работы, студент делает вид, что все знает; преподаватель делает вид, что верит ему. 9400 — | 7312 — или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно